đề thi olympic 30/04 toán 11 lần 28 năm 2024 trường chuyên lê quý đôn – br vt

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 môn Toán năm 2024, lần thứ 28 của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu. Đề thi được cung cấp kèm theo đáp án chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, là tài liệu ôn luyện hữu ích cho các em học sinh có đam mê và mong muốn thử thách bản thân với các bài toán khó.

Đề thi năm nay có cấu trúc bám sát chương trình Toán lớp 11, đồng thời đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, công thức và kỹ năng giải quyết vấn đề sáng tạo. Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán:

1. Bài 1: Số học

Cho số nguyên dương m (m ≥ 2). Gọi p là ước nguyên tố của 2^m - 1. Giả sử 2^m - 1 = p^kn với k là số nguyên dương lẻ và n là số nguyên dương.

• a) Chứng minh n ≥ m + 1.
• b) Chứng minh 1 + 2 + … + 2^n-1 chia hết cho p.

Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về số nguyên tố, ước số và các tính chất chia hết. Câu a yêu cầu thí sinh phải sử dụng các tính chất của số nguyên tố để chứng minh bất đẳng thức. Câu b đòi hỏi sự hiểu biết về cấp số nhân và khả năng áp dụng định lý Fermat nhỏ để giải quyết.

2. Bài 2: Hình học

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có H là trực tâm. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC cắt đoạn thẳng AM tại K; tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng BC ở điểm S.

• a) Chứng minh 2MK = MA và SA = SK.
• b) Đường thẳng SK cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác TPQ tiếp xúc với đường tròn (O).

Nhận xét: Bài toán này là một bài hình học không gian điển hình, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất của trực tâm và các điểm đặc biệt trong tam giác. Việc sử dụng các tính chất của đường tròn và các tam giác đồng dạng là chìa khóa để giải quyết bài toán này.

3. Bài 3: Tổ hợp

Ban chấp hành Đoàn trường THPT X gồm có n thành viên. Trong năm học, Đoàn trường tổ chức m chương trình, mỗi chương trình có đúng k thành viên trong ban chấp hành tham gia. Mỗi thành viên trong ban chấp hành tham gia ít nhất một chương trình.

• a) Cho m = 8, k = 3. Biết rằng với hai chương trình bất kỳ luôn có đúng một thành viên trong ban chấp hành tham gia cả hai chương trình đó. Chứng minh n = 17.
• b) Cho n = 25, k = 10. Biết rằng với hai chương trình bất kỳ luôn có không quá 3 thành viên trong ban chấp hành cùng tham gia. Chứng minh m ≤ 6.

Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài tổ hợp, yêu cầu thí sinh phải sử dụng các công cụ của tổ hợp như nguyên lý bù trừ, nguyên lý Dirichlet để giải quyết. Câu a và b đòi hỏi sự phân tích kỹ lưỡng và khả năng xây dựng các lập luận logic chặt chẽ.

File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG

Hy vọng đề thi này sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.