giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi Olympic Toán năm học 2023 – 2024 dành cho học sinh các trường THPT cụm Hà Đông & Hoài Đức, thành phố Hà Nội. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 28 tháng 03 năm 2024, và hiện tại, đề thi đã được công bố kèm theo đáp án chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.
Đề thi Olympic Toán 10 năm nay được đánh giá là có độ khó phù hợp, bám sát chương trình học lớp 10, đồng thời có tính phân loại học sinh tốt. Các bài toán đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần có khả năng vận dụng linh hoạt và tư duy logic để giải quyết vấn đề.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Một nhà máy dự định sử dụng hai loại nguyên liệu để sản xuất ít nhất 140 kg chất A và 18 kg chất B. Với mỗi tấn nguyên liệu loại I, nhà máy chiết xuất được 20 kg chất A và 1,2 kg chất B. Với mỗi tấn nguyên liệu loại II, nhà máy chiết xuất được 10 kg chất A và 3 kg chất B. Giá mỗi tấn nguyên liệu loại I là 8 triệu đồng và loại II là 6 triệu đồng. Hãy xác định lượng nguyên liệu mỗi loại mà nhà máy cần sử dụng để chi phí mua nguyên liệu là thấp nhất, đồng thời vẫn đảm bảo đáp ứng đủ nhu cầu sản xuất. Lưu ý rằng, nguồn cung cấp nguyên liệu bị giới hạn: tối đa 9 tấn nguyên liệu loại I và 8 tấn nguyên liệu loại II.
Nhận xét: Đây là một bài toán quy hoạch tuyến tính kinh điển, đòi hỏi học sinh phải xây dựng được hàm mục tiêu và hệ ràng buộc, sau đó sử dụng phương pháp đồ thị hoặc simplex để tìm ra nghiệm tối ưu. Bài toán này kiểm tra khả năng mô hình hóa toán học và giải quyết các vấn đề thực tế.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng AB có phương trình x + y - 2 = 0, đường thẳng AC có phương trình 2x - y + 1 = 0. Điểm M(1; 2) thuộc đoạn thẳng BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho độ dài tổng DB + DC đạt giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về phương trình đường thẳng, tam giác cân và tính chất đối xứng. Để giải quyết bài toán, học sinh cần tìm được tọa độ điểm A, sau đó xác định phương trình đường thẳng BC và sử dụng tính chất đối xứng để tìm điểm D thỏa mãn yêu cầu.
Xét các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện 0 ≤ x, y, z ≤ 1 và x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = 2x + y + z2.
Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải vận dụng các kỹ năng về bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc bất đẳng thức AM-GM. Việc sử dụng các điều kiện ràng buộc để tìm ra giới hạn của biểu thức S là một yếu tố quan trọng để giải quyết bài toán.
File WORD (dành cho quý thầy cô): TẢI XUỐNG
Hy vọng đề thi này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô trong công tác giảng dạy và ôn tập, đồng thời là cơ hội để các em học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi sắp tới.
