đề thi olympic toán 11 năm 2019 – 2020 trường thpt mỹ đức a – hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi Olympic Toán 11 năm học 2019 – 2020 trường THPT Mỹ Đức A, Hà Nội. Đề thi này là một tài liệu luyện tập hữu ích, đặc biệt dành cho học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, thành phố. Đề thi có cấu trúc gồm 5 bài toán, được trình bày trên một trang duy nhất, với thời gian làm bài là 150 phút. Điểm đặc biệt của đề thi là đi kèm với lời giải chi tiết, giúp học sinh tự học và ôn luyện hiệu quả.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài toán 1: Hình học không gian

Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng chéo nhau d₁, d₂ cắt (α) tại A, B. Gọi ∆ là đường thẳng thay đổi luôn song song với (α), cắt d₁ tại M, cắt d₂ tại N. Đường thẳng d qua N luôn song song với d₁ cắt (α) tại N’.

• a) Xác định hình dạng của tứ giác AMNN’.
• b) Tìm tập hợp các điểm N’.
• c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng OI là một đường thẳng cố định khi M di động.

Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian điển hình, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về đường thẳng song song, mặt phẳng song song và các tính chất liên quan. Ý c của bài toán là một thử thách lớn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về vectơ và quan hệ song song để chứng minh tính cố định của đường thẳng OI.

2. Bài toán 2: Xác suất

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;20]. Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3.

Nhận xét: Bài toán này thuộc chủ đề xác suất, kết hợp với kiến thức về số học. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các tính chất chia hết cho 3 và sử dụng công thức tính xác suất của biến cố.

3. Bài toán 3: Đại số

Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác.

Nhận xét: Bài toán này là một bài toán đại số kết hợp với hình học, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về cấp số nhân và tính chất của tứ giác. Việc thiết lập phương trình và giải phương trình là chìa khóa để giải quyết bài toán này.

Tài liệu hỗ trợ:

Để thuận tiện cho việc giảng dạy và học tập, giaibaitoan.com cung cấp file WORD của đề thi và lời giải chi tiết:

File WORD: TẢI XUỐNG

Hy vọng đề thi này sẽ là một công cụ hữu ích giúp quý thầy cô giáo và các em học sinh đạt được kết quả tốt nhất trong các kỳ thi Olympic Toán.