giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm 2023 của Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội, thành phố Hà Nội. Đây là đề thi dành riêng cho các thí sinh đăng ký vào chuyên Toán và chuyên Tin học (vòng 2), đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, được biên soạn với mục tiêu hỗ trợ tối đa quá trình ôn luyện và làm quen với cấu trúc đề thi.
Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết các bài toán. Dưới đây là phân tích chi tiết về từng câu hỏi:
Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm D, E, F. Hai đường thẳng MG, NE cắt nhau tại điểm P. Chứng minh rằng:
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phẳng điển hình, yêu cầu thí sinh nắm vững các tính chất của đường tròn nội tiếp, các điểm tiếp xúc, và các định lý về đường thẳng song song. Việc chứng minh EG song song với MN có thể sử dụng các tính chất của hình học biến hình hoặc các định lý về tam giác đồng dạng. Chứng minh P thuộc đường tròn (I) đòi hỏi sự kết hợp của nhiều kiến thức và kỹ năng, có thể sử dụng phương pháp tọa độ hoặc các tính chất góc trong đường tròn.
Bảy lục giác đều được sắp xếp và tô màu bằng hai màu trắng, đen như ở Hình 1. Mỗi lần cho phép chọn ra một lục giác đều, đổi màu của lục giác đó và của tất cả các lục giác đều chung cạnh với lục giác đó (trắng thành đen và đen thành trắng). Chứng minh rằng dù có thực hiện cách làm trên bao nhiêu lần đi nữa, cũng không thể nhận được các lục giác đều được ô màu như ở Hình 2.
Nhận xét: Bài toán này mang tính chất logic và tổ hợp cao. Để giải quyết bài toán, thí sinh cần phân tích cấu trúc của các lục giác đều, xác định các mối quan hệ giữa chúng, và sử dụng các kiến thức về tính chẵn lẻ hoặc các phép biến đổi tương đương để chứng minh tính bất biến của cấu hình màu sắc. Đây là một bài toán thách thức khả năng suy luận và tư duy trừu tượng của thí sinh.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n > 102023 sao cho tổng tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn n là một số nguyên tố cùng nhau với n.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học đòi hỏi thí sinh có kiến thức về số nguyên tố, tính nguyên tố cùng nhau, và các kỹ năng chứng minh sự tồn tại. Để giải quyết bài toán, thí sinh có thể sử dụng các tính chất của số nguyên tố, các định lý về số học, và các phương pháp chứng minh bằng phản chứng hoặc chứng minh trực tiếp. Việc tìm ra một số n thỏa mãn điều kiện đề bài có thể đòi hỏi sự thử nghiệm và phân tích kỹ lưỡng.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán. giaibaitoan.com hy vọng rằng với đáp án và lời giải chi tiết, các em sẽ có thêm động lực và tự tin để đạt được kết quả tốt nhất.
