tìm cực trị của hàm số hợp f(u(x)) khi biết đồ thị hàm số f(x)

Tài liệu chuyên sâu về phương pháp tìm cực trị của hàm hợp f(u(x)) thông qua đồ thị hàm số f(x)

Tài liệu gồm 38 trang, được biên soạn công phu bởi tập thể các thầy cô giáo thuộc Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT, là một nguồn tham khảo giá trị cho học sinh và giáo viên trong quá trình ôn luyện và giảng dạy môn Toán. Tài liệu được xây dựng dựa trên và phát triển từ câu 46 của đề thi minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố, một đề bài được đánh giá là có tính ứng dụng cao và đòi hỏi sự linh hoạt trong tư duy toán học.

Tài liệu tập trung vào một phương pháp tiếp cận mới mẻ và hiệu quả để giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số hợp, đặc biệt khi thông tin về hàm số gốc f(x) được cung cấp thông qua đồ thị của nó. Thay vì chỉ tập trung vào các phương pháp đại số truyền thống, tài liệu khai thác triệt để mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và các tính chất của hàm số, giúp học sinh hình dung rõ ràng hơn về quá trình biến đổi và tìm kiếm các điểm cực trị.

Cấu trúc nội dung của tài liệu được trình bày một cách logic và khoa học, bao gồm các phần chính sau:

1. Đạo hàm của hàm số hợp: Phần này nhắc lại kiến thức cơ bản về quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, làm nền tảng cho các bước giải quyết bài toán.
2. Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) khi biết đồ thị hàm số y = f'(x): Đây là một kỹ năng quan trọng, giúp học sinh xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số f(x) dựa trên thông tin về đạo hàm f'(x). Các bước thực hiện được hướng dẫn chi tiết:
   • Bước 1: Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y = f'(x) với trục hoành. Các giao điểm này chính là các điểm nghiệm của phương trình f'(x) = 0, ứng với các điểm cực trị của hàm số f(x).
   • Bước 2: Xét dấu của hàm số y = f'(x). Nguyên tắc được sử dụng là:
     • Phần đồ thị của f'(x) nằm phía trên trục hoành trong khoảng (a;b) thì f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a;b), do đó f(x) đồng biến trên khoảng này.
     • Phần đồ thị của f'(x) nằm phía dưới trục hoành trong khoảng (a;b) thì f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a;b), do đó f(x) nghịch biến trên khoảng này.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) = f(x) + u(x) khi biết đồ thị hàm số y = f'(x): Phần này mở rộng phương pháp trên để giải quyết bài toán phức tạp hơn, khi hàm số cần tìm cực trị là tổng của hai hàm số f(x) và u(x). Các bước thực hiện bao gồm:
   • Bước 1: Tính đạo hàm g'(x) = f'(x) + u'(x). Tìm các điểm làm cho g'(x) = 0, tức là giải phương trình f'(x) = -u'(x).
   • Bước 2: Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y = f'(x) và đồ thị hàm số y = -u'(x). Các giao điểm này ứng với các điểm cực trị có thể có của hàm số g(x).
   • Bước 3: Xét dấu của hàm số y = g'(x). Nguyên tắc được sử dụng là:
     • Phần đồ thị của f'(x) nằm phía trên đồ thị -u'(x) trong khoảng (a;b) thì g'(x) > 0 với mọi x thuộc (a;b), do đó g(x) đồng biến trên khoảng này.
     • Phần đồ thị của f'(x) nằm phía dưới đồ thị -u'(x) trong khoảng (a;b) thì g'(x) < 0 với mọi x thuộc (a;b), do đó g(x) nghịch biến trên khoảng này.

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu này có giá trị thực tiễn cao, cung cấp một phương pháp giải quyết bài toán cực trị hàm hợp một cách trực quan và hiệu quả. Việc sử dụng đồ thị hàm số giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về bản chất của bài toán và rèn luyện khả năng tư duy hình học. Tuy nhiên, để khai thác tối đa hiệu quả của tài liệu, học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản về đạo hàm, đồ thị hàm số và các kỹ năng xét dấu, lập bảng biến thiên. Ngoài ra, việc luyện tập với nhiều bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh làm quen với các dạng bài và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.