tìm điều kiện để hàm số có cực trị

## Hướng dẫn Giải Bài Toán Tìm Điều Kiện Để Hàm Số Có Cực Trị - Giải Tích 12 Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về phương pháp giải các bài toán liên quan đến việc tìm điều kiện để một hàm số có cực trị trong chương trình Giải tích 12. Chúng ta sẽ đi qua các kiến thức nền tảng, phương pháp chung, và minh họa bằng các ví dụ cụ thể. **1. Kiến Thức Cần Nhớ** Để giải quyết các bài toán về cực trị hàm số, chúng ta cần nắm vững hai định lý sau: **Định lý 1 (Dấu hiệu I):** Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên một lân cận của điểm \({x_0}\) (có thể trừ tại \({x_0}\)). 1. Nếu \(f'(x) > 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0} – \delta ,{x_0}} \right)\) và \(f'(x) < 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0},{x_0} + \delta } \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số \(f(x)\). 2. Nếu \(f'(x) < 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0} – \delta ,{x_0}} \right)\) và \(f'(x) > 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0},{x_0} + \delta } \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\). **Định lý 2 (Dấu hiệu II):** Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục tới cấp \(2\) tại \({x_0}\) và \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\), \(f”\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) thì \({x_0}\) là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa: 1. Nếu \(f”\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_0}\). 2. Nếu \(f”\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\). **Nhận xét:** * Định lý 1 dựa trên sự thay đổi dấu của đạo hàm cấp nhất. Đây là phương pháp trực quan và thường được sử dụng khi có thể dễ dàng xét dấu đạo hàm. * Định lý 2 sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định cực trị. Phương pháp này hiệu quả khi việc xét dấu đạo hàm cấp nhất gặp khó khăn. **2. Phương Pháp Chung** Để giải các bài toán về điều kiện có cực trị của hàm số \(y = f(x)\), ta thực hiện theo các bước sau: **Bước 1: Xác định Miền Xác Định (TXĐ)** Xác định tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) mà hàm số \(f(x)\) được xác định. **Bước 2: Tính Đạo Hàm Cấp Nhất \(y’\)** Tính đạo hàm cấp nhất của hàm số \(y = f(x)\). **Bước 3: Lựa Chọn Phương Pháp** Có hai hướng tiếp cận chính: * **Hướng 1: Sử dụng Dấu hiệu I.** Nếu có thể xét được dấu của \(y’\), ta sử dụng Định lý 1. Hàm số có \(k\) cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y’ = 0\) có \(k\) nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó. * **Hướng 2: Sử dụng Dấu hiệu II.** Nếu không xét được dấu của \(y’\) hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về cực đại hoặc cực tiểu, ta sử dụng Định lý 2 bằng cách tính thêm \(y”\). * Hàm số có cực trị khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm thuộc TXĐ: \[ \begin{cases} y’ = 0 \\ y” \ne 0 \end{cases} \] * Hàm số có cực tiểu khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm thuộc TXĐ: \[ \begin{cases} y’ = 0 \\ y” > 0 \end{cases} \] * Hàm số có cực đại khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm thuộc TXĐ: \[ \begin{cases} y’ = 0 \\ y” < 0 \end{cases} \] * Hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\) khi: \[ \begin{cases} x_0 \in D \\ x_0 \text{ là điểm tới hạn} \\ y”(x_0) > 0 \end{cases} \] * Hàm số đạt cực đại tại \(x_0\) khi: \[ \begin{cases} x_0 \in D \\ x_0 \text{ là điểm tới hạn} \\ y”(x_0) < 0 \end{cases} \] *(Điểm tới hạn: tại đó \(f’(x_0)\) không xác định hoặc bằng 0).* **3. Bài Tập Minh Họa** Dưới đây là một số bài tập minh họa và lời giải chi tiết: **(Bài tập 1)** Cho hàm số \(y = {x^3} + 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)x + {m^3} – 3m.\) Chứng minh rằng với mọi \(m\) hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. **(Lời giải)** * TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). * \(y’ = 3{x^2} + 6mx + 3\left( {{m^2} – 1} \right)\). * \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6mx + 3\left( {{m^2} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + {m^2} – 1 = 0\). * \(\Delta ‘ = {m^2} – ({m^2} – 1) = 1 > 0\). * Phương trình \(y’ = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt: \(x_1 = -m - 1\) và \(x_2 = -m + 1\). * Vì \(\Delta ‘ > 0\) nên \(y’\) đổi dấu tại \(x_1\) và \(x_2\). Do đó, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi \(m\). **(Bài tập 2)** Cho hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} + (\cos a – 3\sin a){x^2} – 8(\cos 2a + 1)x + 1.\) a. Chứng minh rằng với mọi \(a\) hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. **(Lời giải)** * TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). * \(y’ = 2{x^2} + 2(\cos a – 3\sin a)x – 8(\cos 2a + 1)\). * \(\Delta ‘ = {(\cos a – 3\sin a)^2} + 8(\cos 2a + 1) = {\cos ^2}a – 6\cos a\sin a + 9{\sin ^2}a + 8{\cos ^2}a + 8 = 9{\cos ^2}a – 6\cos a\sin a + 9{\sin ^2}a + 8 = 9 + 8 - 6\cos a\sin a = 17 - 3\sin 2a\). * Vì \(-1 \le \sin 2a \le 1\) nên \(14 \le 17 - 3\sin 2a \le 20\). Do đó, \(\Delta ‘ > 0\) với mọi \(a\). * Vậy, phương trình \(y’ = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt, suy ra hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi \(a\). **(Các bài tập còn lại)** sẽ được giải tương tự, áp dụng các bước và kiến thức đã trình bày. **Kết luận:** Việc nắm vững các định lý, phương pháp chung và luyện tập thông qua các bài tập sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán về điều kiện có cực trị của hàm số trong chương trình Giải tích 12.