xác định tâm, bán kính, diện tích và thể tích của mặt cầu

Tài liệu chuyên sâu về phương trình mặt cầu: Hướng dẫn giải quyết bài toán từ đề thi THPT Quốc gia

Tài liệu học tập gồm 12 trang do tập thể quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT biên soạn, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến mặt cầu trong không gian Oxyz. Điểm khởi đầu và động lực phát triển của tài liệu này là câu 14 trong đề thi minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố. Tài liệu này không chỉ cung cấp kiến thức nền tảng mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề thông qua các bài tập mẫu và bài tập phát triển.

Nội dung chính của tài liệu được trình bày một cách hệ thống như sau:

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phần này đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý thuyết, tạo nền tảng vững chắc cho việc giải bài tập. Tài liệu trình bày hai dạng phương trình mặt cầu cơ bản:

1. Phương trình mặt cầu dạng chính tắc:

   (S): (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2, trong đó I(a;b;c) là tâm của mặt cầu và R là bán kính.

   Nhận xét: Dạng phương trình này trực quan, dễ dàng xác định tâm và bán kính của mặt cầu khi đã cho trước.

2. Phương trình mặt cầu dạng khai triển:

   (S): x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0. Khi đó, tâm của mặt cầu là I(a;b;c) và bán kính R = √(a^2 + b^2 + c^2 – d), với điều kiện a^2 + b^2 + c^2 – d > 0.

   Nhận xét: Dạng phương trình này thường xuất hiện khi cần chuyển đổi từ phương trình tổng quát hoặc khi thực hiện các phép biến đổi hình học. Điều kiện a^2 + b^2 + c^2 – d > 0 đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn là dương, đảm bảo bán kính R là một số thực dương.

B. BÀI TẬP MẪU

Phần này minh họa cách áp dụng kiến thức đã học vào giải quyết một bài toán cụ thể.

1. Đề bài: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu: (S): (x + 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 1)^2 = 9. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S).
2. Phân tích hướng dẫn giải:

   a. Dạng toán: Bài toán thuộc dạng xác định tâm và bán kính của mặt cầu dựa trên phương trình chính tắc.

   b. Hướng giải:

   1. Bước 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng chính tắc để xác định tâm và bán kính.
   2. Bước 2: Áp dụng công thức: Mặt cầu (S): (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2 có tâm I(a;b;c) và bán kính R.

   Nhận xét: Hướng dẫn giải được trình bày rõ ràng, từng bước, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu cách giải bài toán.

C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Đây là phần thực hành quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Tài liệu cung cấp các bài tập tương tự và mở rộng từ bài tập mẫu, kèm theo đáp án và lời giải chi tiết. Việc này cho phép học sinh tự kiểm tra, đánh giá kết quả học tập và tìm ra những điểm cần cải thiện.

Đánh giá chung:

Tài liệu này được xây dựng công phu, có tính hệ thống cao và bám sát nội dung chương trình THPT Quốc gia. Việc trình bày kiến thức rõ ràng, dễ hiểu, kết hợp với các bài tập mẫu và bài tập phát triển có đáp án chi tiết là một điểm mạnh của tài liệu. Tài liệu này sẽ là một nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh trong quá trình ôn tập và luyện thi môn Toán.