xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

Hướng dẫn chi tiết phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12)

Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn toàn diện về phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số, một chủ đề quan trọng trong chương trình Giải tích 12. Chúng ta sẽ đi qua các bước thực hiện, ví dụ minh họa, bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luyện để bạn có thể nắm vững kiến thức này.

1. Phương pháp giải toán

Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = f(x)\) trên một khoảng, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Bước 1: Tìm tập xác định (TXĐ). Xác định miền giá trị của \(x\) mà hàm số có nghĩa.
2. Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)\). Đạo hàm của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính đơn điệu. Tìm các điểm \(x_1, x_2, ..., x_n\) thuộc khoảng xác định sao cho \(f'(x) = 0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định. Các điểm này được gọi là điểm tới hạn.
3. Bước 3: Lập bảng biến thiên. Sắp xếp các điểm tới hạn theo thứ tự tăng dần và sử dụng chúng để chia khoảng xác định thành các khoảng con. Xác định dấu của \(f'(x)\) trên mỗi khoảng con.
4. Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu.
   • Nếu \(f'(x) > 0\) trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó.
   • Nếu \(f'(x) < 0\) trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
   • Nếu \(f'(x) = 0\) tại một điểm, điểm đó có thể là điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) của hàm số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 1\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3x^2 - 6x\). Giải phương trình \(y' = 0\) ta được \(3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên \((-\infty; 0)\) và \((2; +\infty)\). Hàm số nghịch biến trên \((0; 2)\).

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = -\frac{1}{4}x^4 + 2x^2 - 5\).

Ta có \(y' = -x^3 + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 2\).

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên \((-\infty; -2)\) và \((0; 2)\). Hàm số nghịch biến trên \((-2; 0)\) và \((2; +\infty)\).

Ví dụ 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = \frac{3x + 1}{-x + 1}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Ta có \(y' = \frac{4}{(-x + 1)^2} > 0\), \(\forall x \in D\).

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; 1)\) và \((1; +\infty)\).

Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = \sqrt{2x - x^2}\).

Tập xác định: \(D = [0; 2]\). Ta có \(y' = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên \((0; 1)\) và nghịch biến trên \((1; 2)\).

3. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Hàm số \(y = -x^3 + 3x - 5\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. \((1; +\infty)\). B. \((-1; 1)\). C. \((-\infty; -1)\). D. \((-\infty; 1)\).

Giải: Ta có \(y' = -3x^2 + 3\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Bảng biến thiên cho thấy hàm số đồng biến trên \((-1; 1)\). Chọn đáp án B.

Bài 2: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{x}{x^2 + 1}\).

A. \((-1; 1)\). B. \((0; +\infty)\). C. \((-\infty; -1)\) và \((1; +\infty)\). D. \((-\infty; +\infty)\).

Giải: Tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Bảng biến thiên cho thấy hàm số đồng biến trên \((-1; 1)\). Chọn đáp án A.

...(Các bài tập trắc nghiệm còn lại và lời giải tương tự)

4. Bài tập tự luyện

...(Các bài tập tự luyện và đáp án)

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo vào giải các bài toán thực tế.