Bài 1. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác - SBT Toán 10 Cánh Diều

I. Định lí cosin

Định lí cosin là một công cụ quan trọng trong việc giải tam giác, đặc biệt khi biết hai cạnh và góc xen giữa hoặc ba cạnh của tam giác. Định lí phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a² = b² + c² - 2bc.cosA
b² = a² + c² - 2ac.cosB
c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó: a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác; A, B, C là các góc đối diện với các cạnh tương ứng.

II. Định lí sin

Định lí sin liên hệ giữa các cạnh của tam giác và sin của các góc đối diện. Định lí phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Trong đó: a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác; A, B, C là các góc đối diện với các cạnh tương ứng; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

III. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Giá trị lượng giác của một góc α (0° ≤ α ≤ 180°) được định nghĩa thông qua đường tròn lượng giác. Các giá trị lượng giác cơ bản bao gồm sin, cos, tan, cot.

sin α: Là tung độ của điểm M trên đường tròn lượng giác.
cos α: Là hoành độ của điểm M trên đường tròn lượng giác.
tan α = sin α / cos α (khi cos α ≠ 0)
cot α = cos α / sin α (khi sin α ≠ 0)

Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

Góc α	sin α	cos α	tan α	cot α
0°	0	1	0	Không xác định
30°	1/2	√3/2	1/√3	√3
45°	√2/2	√2/2	1	1
60°	√3/2	1/2	√3	1/√3
90°	1	0	Không xác định	0
180°	0	-1	0	Không xác định

IV. Ứng dụng của định lí cosin và định lí sin

Định lí cosin và định lí sin được sử dụng rộng rãi trong việc giải tam giác, tính góc, tính cạnh, và các bài toán liên quan đến hình học.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, góc B = 60°. Tính độ dài cạnh AC.

Áp dụng định lí cosin, ta có:

AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cosB

AC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60°

AC² = 25 + 49 - 70.1/2

AC² = 39

AC = √39

V. Bài tập vận dụng

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, góc A = 90°. Tính BC và các giá trị lượng giác của góc B.
Cho tam giác ABC có BC = 6, góc B = 45°, góc C = 60°. Tính AB, AC và góc A.
Một người đứng ở vị trí A và quan sát một chiếc thuyền ở vị trí B. Biết khoảng cách từ A đến B là 100m và góc tạo bởi đường thẳng AB và đường thẳng vuông góc với bờ biển là 30°. Tính khoảng cách từ chiếc thuyền đến bờ biển.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về định lí cosin, định lí sin và giá trị lượng giác của một góc. Chúc bạn học tập tốt!