Bài 1. Phép biến hình và phép dời hình

Trong chương trình Toán 11, chuyên đề về phép biến hình đóng vai trò quan trọng trong việc mở rộng và đào sâu kiến thức về hình học. Bài 1, với tiêu đề "Phép biến hình và phép dời hình", là nền tảng để hiểu rõ hơn về các phép biến hình phức tạp hơn trong các bài học tiếp theo.

1. Khái niệm phép biến hình

Một phép biến hình là một quy tắc xác định một sự tương ứng giữa các điểm của mặt phẳng. Nói cách khác, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, phép biến hình sẽ xác định một điểm M' cũng trong mặt phẳng đó. Ký hiệu phép biến hình là f: M → M'.

2. Phép dời hình

Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Điều này có nghĩa là nếu hai điểm A và B có khoảng cách AB, thì hai điểm A' và B' tương ứng sau phép dời hình sẽ có khoảng cách A'B' = AB.

2.1. Các loại phép dời hình cơ bản

• Phép tịnh tiến: Đưa mỗi điểm M đến một điểm M' sao cho vector MM' = v (v là vector tịnh tiến).
• Phép quay: Xoay mỗi điểm M quanh một điểm O (gọi là tâm quay) một góc α (gọi là góc quay).
• Phép đối xứng qua một đường thẳng: Tìm điểm M' sao cho đường thẳng d (đường thẳng đối xứng) là đường trung trực của đoạn MM'.
• Phép đối xứng qua một điểm: Tìm điểm M' sao cho M là trung điểm của đoạn MM'.

2.2. Tính chất của phép dời hình

Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa các điểm, do đó nó cũng bảo toàn độ dài đoạn thẳng, góc và hình dạng của các hình.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phép tịnh tiến v = (2, -1). Tìm ảnh của điểm A(3, 4) qua phép tịnh tiến này.

Giải: A'(3+2, 4-1) = A'(5, 3)

Ví dụ 2: Cho phép quay Q(O, 90°) quanh điểm O(0, 0). Tìm ảnh của điểm B(1, 0) qua phép quay này.

Giải: B'(0, 1)

4. Bài tập tự luyện

1. Cho phép tịnh tiến v = (-3, 2). Tìm ảnh của điểm C(-1, 5) qua phép tịnh tiến này.
2. Cho phép quay Q(O, -60°) quanh điểm O(0, 0). Tìm ảnh của điểm D(2, 0) qua phép quay này.
3. Chứng minh rằng phép đối xứng qua một đường thẳng là một phép dời hình.

5. Ứng dụng của phép biến hình và phép dời hình

Phép biến hình và phép dời hình có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như:

• Thiết kế đồ họa: Sử dụng phép biến hình để tạo ra các hiệu ứng hình ảnh độc đáo.
• Robot học: Sử dụng phép biến hình để điều khiển chuyển động của robot.
• Vật lý: Sử dụng phép biến hình để mô tả sự biến đổi của các vật thể trong không gian.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phép biến hình và phép dời hình. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và chuẩn bị cho các bài học tiếp theo.