Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SBT Toán 12 - Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 1 trong SBT Toán 12 Cánh diều chương 5 tập trung vào việc xây dựng phương trình mặt phẳng. Để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.

Nếu mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (a; b; c) và đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀), thì phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

2. Các dạng phương trình mặt phẳng

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A; B; C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Phương trình tham số của mặt phẳng:
  • x = x₀ + u₁t + u₂s
  • y = y₀ + v₁t + v₂s
  • z = z₀ + w₁t + w₂s
  Trong đó, (u₁; v₁; w₁) và (u₂; v₂; w₂) là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

3. Bài tập minh họa và giải chi tiết

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (4; -5; 6)

Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng:

4(x - 1) - 5(y - 2) + 6(z - 3) = 0

4x - 4 - 5y + 10 + 6z - 18 = 0

4x - 5y + 6z - 12 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 4x - 5y + 6z - 12 = 0

Ví dụ 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình 2x - 3y + z + 5 = 0

Trong phương trình tổng quát của mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là (A; B; C).

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - 3y + z + 5 = 0 là n = (2; -3; 1).

4. Các dạng bài tập thường gặp

• Lập phương trình mặt phẳng khi biết điểm và vectơ pháp tuyến.
• Lập phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm không thẳng hàng.
• Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
• Tìm hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

5. Mẹo giải nhanh

Khi gặp các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng, hãy chú ý:

• Xác định đúng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Sử dụng linh hoạt các dạng phương trình mặt phẳng để giải quyết bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng với bài giải chi tiết này, các bạn học sinh đã nắm vững kiến thức và kỹ năng giải Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SBT Toán 12 - Cánh diều. Chúc các bạn học tập tốt!