Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập Toán 12 sách Cánh Diều. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước giải bài 20 trang 48, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giaibaitoan.com đã biên soạn lời giải một cách cẩn thận, đảm bảo tính chính xác và dễ tiếp thu.
Trong không gian với hệ toạ độ (Oxyz), cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình chữ nhật và các điểm (Aleft( {0;0;0} right),Bleft( {a;0;0} right),Dleft( {0;b;0} right),Sleft( {0;0;c} right)) với (a,b,c) là các số dương (Hình 3). a) Tìm toạ độ của điểm (C), trung điểm (M) của (BC), trọng tâm (G) của tam giác (SCD). b) Lập phương trình mặt phẳng (left( {SBD} right)). c) Tính khoảng cách từ điểm (G) đến mặt phẳng (left( {SBD} right)).
Đề bài
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),D\left( {0;b;0} \right),S\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,b,c\) là các số dương (Hình 3).
a) Tìm toạ độ của điểm \(C\), trung điểm \(M\) của \(BC\), trọng tâm \(G\) của tam giác \(SCD\).
b) Lập phương trình mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
c) Tính khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).
‒ Sử dụng công thức toạ độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\):
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
‒ Sử dụng công thức toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
‒ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với \(abc \ne 0\) có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):
\(d\left( {{M_0};\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{{\rm{z}}_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Giả sử \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {{x_C};{y_C} - b;{z_C}} \right)\).
Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {x_C}\\0 = {y_C} - b\\0 = {z_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} = b\\{z_C} = 0\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {a;b;0} \right)\).
\(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có: \(M\left( {\frac{{a + a}}{2};\frac{{0 + b}}{2};\frac{{0 + 0}}{2}} \right)\) hay \(M\left( {a;\frac{b}{2};0} \right)\).
\(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\) nên ta có: \(G\left( {\frac{{0 + a + 0}}{3};\frac{{0 + b + b}}{3};\frac{{c + 0 + 0}}{3}} \right)\) hay \(G\left( {\frac{a}{3};\frac{{2b}}{3};\frac{c}{3}} \right)\).
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) hay \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\).
c) Khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng:
\(\begin{array}{l}d\left( {G,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{\frac{a}{3}}}{a} + \frac{{\frac{{2b}}{3}}}{b} + \frac{{\frac{c}{3}}}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\\ = \frac{1}{{3\sqrt {\frac{{{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} }} = \frac{{abc}}{{3\sqrt {{a^2}{b^2} + {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2}} }}\end{array}\)
Bài 20 trang 48 sách bài tập Toán 12 Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản, hàm hợp, và các hàm lượng giác. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là vô cùng quan trọng, không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các môn học nâng cao ở bậc đại học.
Bài tập 20 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng câu hỏi trong bài tập 20 trang 48:
Giả sử câu a yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Lời giải:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Giải thích: Chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của lũy thừa (d/dx xn = nxn-1) và quy tắc đạo hàm của tổng (d/dx [u(x) + v(x)] = u'(x) + v'(x)).
Giả sử câu b yêu cầu tìm đạo hàm cấp hai của hàm số g(x) = sin(x).
Lời giải:
g'(x) = cos(x)
g''(x) = -sin(x)
Giải thích: Chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm sin (d/dx sin(x) = cos(x)) và quy tắc đạo hàm của hàm cos (d/dx cos(x) = -sin(x)).
Để giải bài tập đạo hàm một cách hiệu quả, bạn nên:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải bài 20 trang 48 sách bài tập Toán 12 Cánh Diều một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia!
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Đạo hàm của lũy thừa | d/dx xn = nxn-1 |
| Đạo hàm của sin(x) | d/dx sin(x) = cos(x) |
| Đạo hàm của cos(x) | d/dx cos(x) = -sin(x) |
