Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm: tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số. Việc nắm vững phương pháp này không chỉ quan trọng cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao.

I. Tóm tắt lý thuyết

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng (a, b), ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 và các điểm x mà f'(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
Xác định GTLN và GTNN:

GTLN của hàm số trên (a, b) là giá trị lớn nhất trong các giá trị f(a), f(b) và f(x) tại các điểm tới hạn.
GTNN của hàm số trên (a, b) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị f(a), f(b) và f(x) tại các điểm tới hạn.

II. Giải bài tập

Bài 2.1 (SBT Toán 12 Cánh diều)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Lập bảng biến thiên:

x	-1	0	2	3
f'(x)	+	-	+	+
f(x)	0	2	-2	8

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

Hàm số đạt GTLN tại x = 3, với f(3) = 8.
Hàm số đạt GTNN tại x = 2, với f(2) = -2.

Bài 2.2 (SBT Toán 12 Cánh diều)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x - 1 trên khoảng (0; 3).

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = -2x + 4
Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình -2x + 4 = 0, ta được x = 2.
Lập bảng biến thiên:

x	0	2	3
f'(x)	+	-	-
f(x)	-1	3	2

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

Hàm số đạt GTLN tại x = 2, với f(2) = 3.
Vì khoảng (0; 3) là khoảng mở, hàm số không có GTNN. Tuy nhiên, giá trị hàm số tiến tới -1 khi x tiến tới 0.

III. Lưu ý khi giải bài tập

Luôn kiểm tra xem đạo hàm có tồn tại trên toàn bộ khoảng xét hay không.
Chú ý đến các điểm không xác định của đạo hàm.
Khi tìm GTLN và GTNN trên một đoạn [a; b], cần so sánh giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và tại hai mút của đoạn.
Khi tìm GTLN và GTNN trên một khoảng mở (a; b), cần xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới a và b.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!