Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 44 trang 20 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chất lượng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) \(y = {3^x} + {3^{ - x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\); b) \(y = x.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\); c) \(y = \ln \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\); d) \(y = - 3{\rm{x}} + 5 + x\ln {\rm{x}}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\);
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) \(y = {3^x} + {3^{ - x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);
b) \(y = x.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);
c) \(y = \ln \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\);
d) \(y = - 3{\rm{x}} + 5 + x\ln {\rm{x}}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\);
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\).
Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(y' = {3^x}.\ln 3 - {3^{ - x}}.\ln 3\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0\).
\(y\left( { - 1} \right) = \frac{{10}}{3};y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = \frac{{82}}{9}\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \frac{{82}}{9}\) tại \(x = 2\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = 2\) tại \(x = 0\).
b) Ta có: \(y' = {\left( x \right)^\prime }.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} + x.{\left( {{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}} \right)^\prime } = {e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} + x.\left( { - 4{\rm{x}}} \right).{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} = {e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}\left( {1 - 4{{\rm{x}}^2}} \right)\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = \frac{1}{2}\).
\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt e }};y\left( 1 \right) = \frac{1}{{{e^2}}}\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = \frac{1}{{2\sqrt e }}\) tại \(x = \frac{1}{2}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 0\) tại \(x = 0\).
c) Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}} = \frac{{2{\rm{x}} + 2}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}}\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = - 1\).
\(y\left( { - 2} \right) = \ln 3;y\left( { - 1} \right) = \ln 2;y\left( 3 \right) = \ln 18\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = \ln 18\) tại \(x = 3\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = \ln 2\) tại \(x = - 1\).
d) Ta có: \(y = - 3 + {\left( x \right)^\prime }\ln {\rm{x}} + x{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = - 3 + \ln {\rm{x}} + x.\frac{1}{x} = \ln {\rm{x}} - 2\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(y' = 0\) không có nghiệm.
\(y\left( 1 \right) = 2;y\left( 3 \right) = 3\ln 3 - 4\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 2\) tại \(x = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 3\ln 3 - 4\) tại \(x = 3\).
Bài 44 trang 20 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu và vẽ đồ thị hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng xem lại đề bài của bài 44 trang 20 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều:
(Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.)
Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
y' = 3x^2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm cực trị
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta có hai điểm cực trị: x1 = 0 và x2 = 2
Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến
Xét dấu y':
Bước 4: Tìm giới hạn và các điểm đặc biệt
lim (x -> +∞) y = +∞
lim (x -> -∞) y = -∞
Hàm số không có điểm đặc biệt nào khác.
Bước 5: Vẽ đồ thị hàm số
Dựa vào các kết quả trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Đồ thị hàm số có dạng đường cong đi lên từ phía dưới bên trái, đạt cực đại tại x = 0, sau đó đi xuống và đạt cực tiểu tại x = 2, rồi lại đi lên vô cùng.
Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, bạn cần lưu ý những điều sau:
Việc nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm là rất quan trọng để giải quyết các bài tập về khảo sát hàm số một cách hiệu quả.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 44 trang 20 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
