Chương 3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 3 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc nghiên cứu các số đặc trưng dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu, đặc biệt là khi dữ liệu được trình bày dưới dạng bảng tần số (mẫu số liệu ghép nhóm). Việc hiểu rõ các số đặc trưng này là vô cùng quan trọng trong việc phân tích và so sánh các tập dữ liệu khác nhau.

1. Các khái niệm cơ bản

Trước khi đi vào các công thức tính toán, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

• Mẫu số liệu ghép nhóm: Là tập hợp các giá trị quan sát được chia thành các khoảng (nhóm) và được biểu diễn bằng tần số của mỗi khoảng.
• Tâm của khoảng: Là giá trị đại diện cho mỗi khoảng, thường được tính bằng trung bình cộng của cận dưới và cận trên của khoảng.
• Độ lệch: Là hiệu giữa giá trị quan sát và giá trị trung bình của mẫu.

2. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Chương 3 giới thiệu ba số đặc trưng chính để đo mức độ phân tán:

1. Phương sai (Variance): Ký hiệu là s², đo lường mức độ biến động của các giá trị trong mẫu so với giá trị trung bình. Công thức tính phương sai cho mẫu số liệu ghép nhóm là: s² = Σ(f_i * (x_i - x̄)²) / (n - 1), trong đó f_i là tần số của khoảng thứ i, x_i là tâm của khoảng thứ i, x̄ là giá trị trung bình của mẫu, và n là tổng số quan sát.
2. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation): Ký hiệu là s, là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cho biết mức độ tập trung của các giá trị xung quanh giá trị trung bình. Công thức tính độ lệch chuẩn là: s = √s².
3. Khoảng biến thiên (Range): Là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu. Khoảng biến thiên cho biết phạm vi mà các giá trị trong mẫu trải rộng.

3. Ứng dụng của các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Các số đặc trưng đo mức độ phân tán có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• So sánh mức độ đồng nhất của các tập dữ liệu: Ví dụ, so sánh mức độ biến động về chiều cao giữa nam và nữ.
• Đánh giá rủi ro trong tài chính: Ví dụ, đo lường mức độ biến động của giá cổ phiếu.
• Kiểm soát chất lượng trong sản xuất: Ví dụ, theo dõi mức độ biến động của kích thước sản phẩm.

4. Bài tập minh họa

Ví dụ: Cho bảng tần số sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Lời giải:

1. Tính tâm của mỗi khoảng: x₁ = 15, x₂ = 25, x₃ = 35.
2. Tính giá trị trung bình: x̄ = (15*5 + 25*8 + 35*7) / (5+8+7) = 27.08.
3. Tính phương sai: s² = (5*(15-27.08)² + 8*(25-27.08)² + 7*(35-27.08)²) / (20-1) = 74.89.
4. Tính độ lệch chuẩn: s = √74.89 = 8.65.

5. Lời khuyên khi học tập

Để nắm vững kiến thức về các số đặc trưng đo mức độ phân tán, các em nên:

• Hiểu rõ các khái niệm cơ bản.
• Thực hành giải nhiều bài tập khác nhau.
• Sử dụng máy tính hoặc phần mềm thống kê để tính toán nhanh chóng và chính xác.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ học tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới. Chúc các em thành công!