Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 16 trang 98 sách bài tập toán 12 - Cánh diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Bảng 20 và Bảng 21 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2022 tại Bãi Cháy (Quảng Ninh) và Nam Định (đơn vị: độ C). a) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Bãi Cháy và Nam Định. b) Trong hai địa điểm Bãi Cháy và Nam Định, địa điểm nào có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn?
Đề bài
Bảng 20 và Bảng 21 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2022 tại Bãi Cháy (Quảng Ninh) và Nam Định (đơn vị: độ C).
a) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Bãi Cháy và Nam Định.
b) Trong hai địa điểm Bãi Cháy và Nam Định, địa điểm nào có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} - {a_1}\).
‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
+ Nhóm thứ \(p\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4}\) (tức là \(c{f_{p - 1}} < \frac{n}{4}\) nhưng \(c{f_p} \ge \frac{n}{4}\)). Ta gọi \(s,h,{n_p}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(p\), \(c{f_{p - 1}}\) là tần số tích luỹ của nhóm thứ \(p - 1\). Khi đó: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{\frac{n}{4} - c{f_{p - 1}}}}{{{n_p}}}} \right).h\).
+ Nhóm thứ \(q\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{4}\) (tức là \(c{f_{q - 1}} < \frac{{3n}}{4}\) nhưng \(c{f_q} \ge \frac{{3n}}{4}\)). Ta gọi \(t,l,{n_q}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(q\), \(c{f_{q - 1}}\) là tần số tích luỹ của nhóm thứ \(q - 1\). Khi đó: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{\frac{{3n}}{4} - c{f_{q - 1}}}}{{{n_q}}}} \right).l\).
‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1}\).
‒ Sử dụng công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\)trong đó \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (với \(i = 1,...,k\)) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\).
‒ Sử dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
\({s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_m}{{\left( {{x_m} - \overline x } \right)}^2}}}{n}\)
‒ Sử dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: \(s = \sqrt {{s^2}} \).
Lời giải chi tiết
a)
• Bãi Cháy:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = 32 - 14 = 18\).
Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\).
Nhóm 2 có đầu mút trái \(s = 17\), độ dài \(h = 3\), tần số của nhóm \({n_2} = 2\) và nhóm 1 có tần số tích luỹ \(c{f_1} = 1\).
Ta có: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 17 + \left( {\frac{{3 - 1}}{2}} \right).3 = 20\) (độ C).
Nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\).
Nhóm 5 có đầu mút trái \(t = 26\), độ dài \(l = 3\), tần số của nhóm \({n_5} = 2\) và nhóm 4 có tần số tích luỹ \(c{f_4} = 1 + 2 + 1 + 4 = 8\).
Ta có: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 26 + \left( {\frac{{9 - 8}}{2}} \right).3 = 27,5\) (độ C).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 27,5 - 20 = 7,5\) (độ C).
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\overline x = \frac{{1.15,5 + 2.18,5 + 1.21,5 + 4.24,5 + 2.27,5 + 2.30,5}}{{12}} = 24\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:
\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{12}}\left[ {1.{{\left( {15,5 - 24} \right)}^2} + 2.{{\left( {18,5 - 24} \right)}^2} + 1.{{\left( {21,5 - 24} \right)}^2} + 4.{{\left( {24,5 - 24} \right)}^2} + } \right.\\\left. { + 2.{{\left( {27,5 - 24} \right)}^2} + 2.{{\left( {30,5 - 24} \right)}^2}} \right] = 20,75\end{array}\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(s = \sqrt {20,75} \approx 4,5552\).
• Nam Định:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = 32 - 14 = 18\).
Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\).
Nhóm 2 có đầu mút trái \(s = 17\), độ dài \(h = 3\), tần số của nhóm \({n_2} = 2\) và nhóm 1 có tần số tích luỹ \(c{f_1} = 1\).
Ta có: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 17 + \left( {\frac{{3 - 1}}{2}} \right).3 = 20\) (độ C).
Nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\).
Nhóm 5 có đầu mút trái \(t = 26\), độ dài \(l = 3\), tần số của nhóm \({n_5} = 2\) và nhóm 4 có tần số tích luỹ \(c{f_4} = 1 + 2 + 1 + 3 = 7\).
Ta có: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 26 + \left( {\frac{{9 - 7}}{2}} \right).3 = 29\) (độ C).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 29 - 20 = 9\) (độ C).
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\overline x = \frac{{1.15,5 + 2.18,5 + 1.21,5 + 3.24,5 + 2.27,5 + 3.30,5}}{{12}} = 24,5\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:
\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{12}}\left[ {1.{{\left( {15,5 - 24} \right)}^2} + 2.{{\left( {18,5 - 24,5} \right)}^2} + 1.{{\left( {21,5 - 24,5} \right)}^2} + 3.{{\left( {24,5 - 24,5} \right)}^2} + } \right.\\\left. { + 2.{{\left( {27,5 - 24,5} \right)}^2} + 3.{{\left( {30,5 - 24,5} \right)}^2}} \right] = 24\end{array}\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(s = \sqrt {24} \approx 4,899\).
b) Do \(4,5552 < 4,8990\) nên nhiệt độ ở Bãi Cháy đồng đều hơn.
Bài 16 trang 98 sách bài tập toán 12 - Cánh diều thuộc chương trình học toán 12, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về các chủ đề như đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, và các ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian.
Bài 16 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong bài 16, bạn cần nắm vững các kiến thức và phương pháp sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC. Suy ra AC ⊥ (SAC). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SC và AO. Ta có AO = AC/2 = (a√2)/2. Trong tam giác SAO vuông tại A, ta có tan ∠SAO = SO/SA = (a√2/2)/a = √2/2. Vậy ∠SAO = arctan(√2/2). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là arctan(√2/2).
Bài 16 trang 98 sách bài tập toán 12 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về các quan hệ song song, quan hệ vuông góc trong không gian. Hy vọng với những hướng dẫn và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập tương tự.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Góc giữa hai đường thẳng | cos θ = |a.b| / (||a|| * ||b||) |
| Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng | sin θ = |a.n| / (||a|| * ||n||) |
| Góc giữa hai mặt phẳng | cos θ = |n1.n2| / (||n1|| * ||n2||) |
