Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - SBT Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất trong việc phân tích và vẽ đồ thị hàm số: đường tiệm cận. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp ta xác định được hành vi của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể, từ đó vẽ được đồ thị chính xác hơn.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến gần vô cùng khi x hoặc y tiến tới một giá trị nhất định. Có hai loại đường tiệm cận chính:

• Đường tiệm cận ngang: Là đường thẳng có phương trình y = a, mà đồ thị hàm số tiến gần khi x tiến tới vô cùng (+∞ hoặc -∞).
• Đường tiệm cận đứng: Là đường thẳng có phương trình x = a, mà đồ thị hàm số tiến gần khi x tiến tới a.

2. Phương pháp tìm đường tiệm cận ngang

Để tìm đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính giới hạn lim (x→+∞) f(x) và lim (x→-∞) f(x).
2. Nếu lim (x→+∞) f(x) = a (với a là một số thực), thì y = a là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x tiến tới +∞.
3. Nếu lim (x→-∞) f(x) = b (với b là một số thực), thì y = b là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x tiến tới -∞.

3. Phương pháp tìm đường tiệm cận đứng

Để tìm đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm các giá trị x sao cho mẫu số của hàm số bằng 0.
2. Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới các giá trị đó.
3. Nếu lim (x→a+) f(x) = +∞ hoặc -∞ (với a là một giá trị làm mẫu số bằng 0), thì x = a là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (2x + 1) / (x - 3)

Giải:

• Đường tiệm cận ngang: lim (x→+∞) (2x + 1) / (x - 3) = 2. Vậy y = 2 là đường tiệm cận ngang.
• Đường tiệm cận đứng: Mẫu số x - 3 = 0 khi x = 3. lim (x→3+) (2x + 1) / (x - 3) = +∞. Vậy x = 3 là đường tiệm cận đứng.

5. Lưu ý quan trọng

• Không phải hàm số nào cũng có đường tiệm cận.
• Một hàm số có thể có nhiều đường tiệm cận ngang hoặc đứng.
• Đường tiệm cận không phải là một phần của đồ thị hàm số, mà chỉ là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến gần.

6. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về đường tiệm cận:

• Bài 1: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (x - 1) / (x + 2)
• Bài 2: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (3x^2 + 2x - 1) / (x^2 - 4)
• Bài 3: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = 1 / (x - 1)^2

7. Kết luận

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức về đường tiệm cận sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!