Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 53 trang 67 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành.
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính 2. a) Lập phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\). b) Lấy các điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và \(B\left( {1;1;0} \right)\). Lập phương trình đường thẳng \(AB\). Tìm toạ độ các điểm \(C\) và \(D\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Đề bài
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính 2.
a) Lập phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\).
b) Lấy các điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và \(B\left( {1;1;0} \right)\). Lập phương trình đường thẳng \(AB\). Tìm toạ độ các điểm \(C\) và \(D\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
‒ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình của mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính 2 là:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} = {2^2}\) hay \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).
Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
Điểm \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) và mặt cầu nên điểm \(C\) nằm trên đường thẳng \(AB\). Vậy điểm \(C\) có toạ độ là: \(C\left( {1;t; - 1 + t} \right)\)
Điểm \(C\) nằm trên mặt cầu nên ta có: \({1^2} + {t^2} + {\left( { - 1 + t} \right)^2} = 4\) hay \(2{t^2} - 2t - 2 = 0\).
Suy ra \(t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\).
Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng \(AB\) và mặt cầu là: \(C\left( {1;\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\) và \(D\left( {1;\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\).
Bài 53 trang 67 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều thuộc chương trình học về Đạo hàm. Bài tập này thường tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm lượng giác. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, điểm uốn và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Bài tập 53 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giải bài 53 trang 67 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử bài tập yêu cầu tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1). Ta thực hiện như sau:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: y' = u' * v', với u = 2x + 1 và v = sin(u).
Ta có: u' = 2 và v' = cos(u) = cos(2x + 1).
Vậy, y' = 2 * cos(2x + 1).
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để học tập và ôn luyện kiến thức về đạo hàm, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 53 trang 67 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
