Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3. Phương trình mặt cầu - SBT Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt cầu. Để làm tốt bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

Phương trình tổng quát của mặt cầu: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², trong đó (a, b, c) là tọa độ tâm I và R là bán kính.
Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu: Phương trình có dạng (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² với R > 0.
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Dựa vào phương trình mặt cầu để xác định tọa độ tâm và bán kính.
Các dạng bài tập thường gặp: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính, viết phương trình mặt cầu khi biết các yếu tố khác (ví dụ: đường kính, ba điểm nằm trên mặt cầu).

Giải chi tiết các bài tập trong SBT Toán 12 Cánh diều - Bài 3

Bài 3.1

Đề bài: Viết phương trình của mặt cầu có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = 5.

Lời giải:

Áp dụng công thức phương trình mặt cầu, ta có:

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 5²

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 25

Bài 3.2

Đề bài: Viết phương trình của mặt cầu có tâm I(-1; 0; 2) và đi qua điểm A(3; -1; 4).

Lời giải:

Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến điểm A:

R = IA = √[(3 - (-1))² + (-1 - 0)² + (4 - 2)²] = √(16 + 1 + 4) = √21

Vậy phương trình mặt cầu là:

(x + 1)² + y² + (z - 2)² = 21

Bài 3.3

Đề bài: Lập phương trình của mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng nối hai điểm A(1; 2; -1) và B(3; -2; 1).

Lời giải:

Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB:

I = ((1 + 3)/2; (2 - 2)/2; (-1 + 1)/2) = (2; 0; 0)

Bán kính R của mặt cầu là nửa độ dài đoạn thẳng AB:

R = AB/2 = √[(3 - 1)² + (-2 - 2)² + (1 + 1)²]/2 = √(4 + 16 + 4)/2 = √24/2 = √6

Vậy phương trình mặt cầu là:

(x - 2)² + y² + z² = 6

Các dạng bài tập nâng cao và phương pháp giải

Ngoài các bài tập cơ bản, bài 3 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Một số dạng bài tập nâng cao thường gặp:

Xác định phương trình mặt cầu khi biết các điều kiện khác: Ví dụ, mặt cầu tiếp xúc với một mặt phẳng, đi qua một đường tròn, hoặc có một số điểm đặc biệt.
Bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng, mặt phẳng: Xác định số điểm chung giữa mặt cầu và đường thẳng, mặt phẳng.

Để giải các bài tập nâng cao này, học sinh cần: