Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân

Chương 4: Nguyên hàm và Tích phân - SBT Toán 12 Cánh Diều: Tổng quan

Chương 4 trong sách bài tập Toán 12 Cánh Diều Tập 2 tập trung vào hai khái niệm cốt lõi của Giải tích: Nguyên hàm và Tích phân. Việc nắm vững kiến thức trong chương này là vô cùng quan trọng, không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các môn học liên quan đến Toán học và Khoa học Tự nhiên ở bậc Đại học.

1. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm là một bài toán ngược của phép vi phân. Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, chúng khác nhau ở một hằng số cộng. Hằng số này được gọi là hằng số tích phân, thường ký hiệu là C.

Các quy tắc tính nguyên hàm cơ bản:

• Nguyên hàm của hàm lũy thừa: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
• Nguyên hàm của hàm mũ: ∫e^x dx = e^x + C
• Nguyên hàm của hàm lượng giác: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C, ∫cos(x) dx = sin(x) + C
• Nguyên hàm của hàm nghịch đảo lượng giác

2. Tích phân

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b. Tích phân không xác định là một họ các hàm số, mỗi hàm số trong họ này là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Các phương pháp tính tích phân:

• Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
• Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số.
• Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành các nhân tử đơn giản hơn.

3. Ứng dụng của Nguyên hàm và Tích phân

Nguyên hàm và tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Tính diện tích hình phẳng
• Tính thể tích vật thể
• Tính độ dài đường cong
• Giải các bài toán vật lý liên quan đến chuyển động, công, năng lượng

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính ∫(2x + 1) dx

Lời giải: ∫(2x + 1) dx = ∫2x dx + ∫1 dx = 2∫x dx + ∫1 dx = 2(x²/2) + x + C = x² + x + C

Bài tập 2: Tính ∫x sin(x) dx (sử dụng phương pháp tích phân từng phần)

Lời giải: Đặt u = x, dv = sin(x) dx. Suy ra du = dx, v = -cos(x). Áp dụng công thức tích phân từng phần: ∫u dv = uv - ∫v du, ta có:

∫x sin(x) dx = -x cos(x) - ∫(-cos(x)) dx = -x cos(x) + ∫cos(x) dx = -x cos(x) + sin(x) + C

5. Lời khuyên khi học Chương 4

• Nắm vững các định nghĩa và tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích phân.
• Luyện tập thường xuyên các bài tập để làm quen với các phương pháp tính tích phân khác nhau.
• Hiểu rõ ứng dụng của nguyên hàm và tích phân trong thực tế.
• Sử dụng các tài liệu tham khảo và công cụ hỗ trợ học tập để nâng cao kiến thức.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, bạn sẽ học tốt chương 4 Nguyên hàm và Tích phân - SBT Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn thành công!