Bài 1. Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính - Lý thuyết và Phương pháp

Quy hoạch tuyến tính là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành nghề khác nhau như kinh tế, quản lý, kỹ thuật,... Mục tiêu của quy hoạch tuyến tính là tìm ra phương án tối ưu (ví dụ: tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí) dựa trên một tập hợp các ràng buộc tuyến tính.

1. Khái niệm cơ bản:

• Bài toán quy hoạch tuyến tính: Là bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm mục tiêu tuyến tính, với các biến số thỏa mãn một hệ các bất phương trình và phương trình tuyến tính gọi là các ràng buộc.
• Hàm mục tiêu: Là hàm số tuyến tính cần tối ưu hóa (ví dụ: f(x, y) = ax + by).
• Ràng buộc: Là các bất phương trình hoặc phương trình tuyến tính giới hạn miền giá trị của các biến số.
• Miền nghiệm: Là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn tất cả các ràng buộc của bài toán.

2. Phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính:

1. Xây dựng mô hình toán học: Xác định hàm mục tiêu và các ràng buộc của bài toán.
2. Vẽ miền nghiệm: Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.
3. Tìm các đỉnh của miền nghiệm: Xác định tọa độ của các đỉnh của miền nghiệm.
4. Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh: Thay tọa độ của các đỉnh vào hàm mục tiêu để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
5. Kết luận: Chọn phương án tối ưu dựa trên giá trị hàm mục tiêu lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Ví dụ minh họa

Bài toán: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm A cần 2 kg nguyên liệu và 1 giờ công. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm B cần 1 kg nguyên liệu và 2 giờ công. Xí nghiệp có 400 kg nguyên liệu và 300 giờ công. Hỏi xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm A và B để đạt lợi nhuận tối đa, biết rằng lợi nhuận của mỗi đơn vị sản phẩm A là 30 nghìn đồng và của mỗi đơn vị sản phẩm B là 40 nghìn đồng?

Giải:

1. Mô hình toán học:

• Biến quyết định: x là số sản phẩm A, y là số sản phẩm B.
• Hàm mục tiêu: f(x, y) = 30x + 40y (cần tối đa hóa).
• Ràng buộc:
• 2x + y ≤ 400 (nguyên liệu)
• x + 2y ≤ 300 (công)
• x ≥ 0, y ≥ 0 (điều kiện tự nhiên)

2. Vẽ miền nghiệm:

Vẽ các đường thẳng 2x + y = 400, x + 2y = 300, x = 0, y = 0 trên mặt phẳng tọa độ. Miền nghiệm là miền tứ giác OABC, với A(0, 0), B(200, 0), C(0, 150), và O là giao điểm của 2x + y = 400 và x + 2y = 300.

3. Tìm tọa độ giao điểm O:

Giải hệ phương trình:

• 2x + y = 400
• x + 2y = 300

Nhân phương trình thứ nhất với 2, ta được: 4x + 2y = 800. Trừ phương trình thứ hai, ta được: 3x = 500 => x = 500/3. Thay vào phương trình thứ hai, ta được: 500/3 + 2y = 300 => 2y = 400/3 => y = 200/3. Vậy O(500/3, 200/3).

4. Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh:

• f(0, 0) = 0
• f(200, 0) = 6000
• f(0, 150) = 6000
• f(500/3, 200/3) = 30*(500/3) + 40*(200/3) = 5000 + 8000/3 = 23000/3 ≈ 7666.67

5. Kết luận:

Lợi nhuận tối đa đạt được khi xí nghiệp sản xuất 500/3 sản phẩm A và 200/3 sản phẩm B, với lợi nhuận tối đa là 23000/3 nghìn đồng.

Luyện tập và mở rộng

Các em có thể tìm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo để luyện tập và củng cố kiến thức. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm hiểu thêm về các phương pháp giải quy hoạch tuyến tính khác như phương pháp đơn hình để nâng cao khả năng giải quyết các bài toán phức tạp hơn.