Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là ở lớp 10. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai, tìm khoảng giá trị của biến số, và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các số thực, và a ≠ 0.

2. Điều kiện xác định của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai được xác định khi và chỉ khi x thuộc tập số thực. Tuy nhiên, để xét dấu tam thức bậc hai, chúng ta cần quan tâm đến các nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0.

3. Nghiệm của phương trình bậc hai và biệt thức delta

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có các nghiệm được xác định bởi công thức nghiệm:

x_1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Biệt thức delta (Δ) được tính bằng công thức: Δ = b² - 4ac. Giá trị của delta quyết định số nghiệm của phương trình bậc hai:

Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.
Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b / 2a.
Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

4. Xét dấu tam thức bậc hai

Việc xét dấu tam thức bậc hai phụ thuộc vào giá trị của hệ số a và dấu của delta (Δ).

Trường hợp a > 0:
- Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) âm giữa hai nghiệm x₁ và x₂, dương khi x < x₁ hoặc x > x₂.
- Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) dương với mọi x ≠ -b / 2a.
- Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) dương với mọi x.
Trường hợp a < 0:
- Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) dương giữa hai nghiệm x₁ và x₂, âm khi x < x₁ hoặc x > x₂.
- Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) âm với mọi x ≠ -b / 2a.
- Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) âm với mọi x.

5. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, và c = 2.

Tính delta: Δ = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0.

Phương trình 2x² - 5x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 1/2

x₂ = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 2

Vì a = 2 > 0, tam thức f(x) âm giữa hai nghiệm 1/2 và 2, dương khi x < 1/2 hoặc x > 2.

6. Ứng dụng của việc xét dấu tam thức bậc hai

Việc xét dấu tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Giải bất phương trình bậc hai.
Tìm khoảng giá trị của biến số để tam thức bậc hai có giá trị dương hoặc âm.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai.
Ứng dụng trong các bài toán tối ưu hóa.

Hy vọng với những kiến thức trên, bạn đã hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai và cách áp dụng nó vào giải quyết các bài toán cụ thể. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!