Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức tại giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
Xét đường tròn đường kính AB=4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM=x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ.
Đề bài
Xét đường tròn đường kính AB=4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM=x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tính diện tích hình tròn đường kính AB, AM, MB theo x
Bước 2: Tính diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ theo x
Bước 3: Lập bất phương trình từ dữ kiện bài toán
Lời giải chi tiết
Ta có: AM < AB nên \(0 < x < 4\).
Diện tích hình tròn đường kính AB là \({S_0} = \pi .{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 4\pi \).
Diện tích hình tròn đường kính AM là \({S_1} = \pi .{\left( {\frac{{AM}}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi .{x^2}}}{4}\).
Diện tích hình tròn đường kính MB là \({S_2} = \pi .{\left( {\frac{{MB}}{2}} \right)^2} = \pi .\frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\).
Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là \(S(x) = {S_0} - {S_1} - {S_2} = 4\pi - \frac{{{x^2}}}{4}\pi - \frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\pi = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}\pi \).
Vì diện tich S(x) không vượt quá 1 nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ nên:
\(S(x) \le \frac{1}{2}\left( {{S_1} + {S_2}} \right)\)
Khi đó : \(\frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}\pi \le \frac{1}{2}.\frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\pi \)
\( \Leftrightarrow - {x^2} + 4x \le \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\)
\( \Leftrightarrow - 2{x^2} + 8x \le {x^2} - 4x + 8\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 8 \ge 0\).
Xét tam thức \(3{x^2} - 12x + 8\) có \(\Delta ' = 12 > 0\) nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3};{x_2} = \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\)
Mặt khác a=3>0, do đó ta có bảng xét dấu:
Do đó \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\).
Mà 0 < x < 4 nên \(x \in \left( {0 ;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; 4} \right)\).
Bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Bài tập 6.19 yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về tích vô hướng để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ, và tính độ dài của vectơ.
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng phần của bài toán và đưa ra lời giải chi tiết:
Đọc kỹ đề bài, xác định các vectơ được cho, các yêu cầu của bài toán. Vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.
Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
Nếu a.b = 0 thì hai vectơ a và b vuông góc.
Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ: |a| = √(x2 + y2), trong đó a = (x, y).
Giả sử đề bài cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (-3, 1). Yêu cầu tính tích vô hướng của a và b, và xác định góc giữa hai vectơ.
Bước 1: Tính tích vô hướng a.b
a.b = (1)*(-3) + (2)*(1) = -3 + 2 = -1
Bước 2: Tính độ dài của hai vectơ
|a| = √(12 + 22) = √5
|b| = √((-3)2 + 12) = √10
Bước 3: Tính góc giữa hai vectơ
cos(θ) = (a.b) / (|a||b|) = -1 / (√5 * √10) = -1 / √50 = -1 / (5√2)
θ = arccos(-1 / (5√2)) ≈ 101.31°
Ngoài bài tập 6.19, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến tích vô hướng và ứng dụng của nó. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần:
Khi giải bài tập về vectơ, cần chú ý đến các yếu tố sau:
Bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và tích vô hướng. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải quyết các bài tập tương tự.
