Bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán lớp 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho ba vectơ a, b, u với |a|=1, |b|=1 và a vuông góc với b. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị i=a,j=b. Chứng minh rằng: a) Vectơ u có tọa độ là (u.a; u.b) b) u= (u.a).a +(u.b).b
Đề bài
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow u \) với \(|\overrightarrow a |\; = \;\,|\overrightarrow b |\; = 1\) và \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \). Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j = \overrightarrow b .\) Chứng minh rằng:
a) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)
b) \(\overrightarrow u = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ \(\overrightarrow u \)
+) \(\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a = |\overrightarrow u| \,.\,|\overrightarrow a|. \cos (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a) \)
b) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ \((x\,;y)\) trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ;\;\overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u = x\,.\,\overrightarrow i + y.\,\overrightarrow j \)
Lời giải chi tiết
a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b ;\;\overrightarrow {OC} = \overrightarrow u \)
Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j = \overrightarrow b \), lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.
Gọi tọa độ của \(\overrightarrow u \)là \(\left( {x;y} \right)\). Đặt \(\alpha = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow a } \right)\).
+) Nếu \({0^o} < \alpha < {90^o}\): \(x = OM = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha .\;|\overrightarrow a |\; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)
+) Nếu \({90^o} < \alpha < {180^o}\): \(x = - OM = \; - |\overrightarrow u |.\cos ({180^o} - \alpha ) = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha \; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)
Như vậy ta luôn có: \(x = \overrightarrow u .\overrightarrow a \)
Chứng minh tương tự, ta có: \(y = \overrightarrow u .\overrightarrow b \)
Vậy vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)
b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị \(\overrightarrow i = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j = \overrightarrow b \), vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow i + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \overrightarrow u = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \end{array}\)
Bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài toán ứng dụng thực tế về vectơ trong mặt phẳng. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Bài toán 4.38 yêu cầu học sinh giải quyết một tình huống thực tế liên quan đến việc xác định vị trí của một vật thể dựa trên các vectơ chỉ hướng và khoảng cách. Cụ thể, bài toán thường mô tả một tình huống như sau:
“Một người đi bộ từ điểm A đến điểm B, sau đó đi tiếp từ điểm B đến điểm C. Biết độ dài các đoạn đường AB và BC, cũng như góc giữa hai đoạn đường AB và BC. Hãy xác định độ dài đoạn đường AC và góc giữa hai đoạn đường AC và AB.”
Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp vectơ như sau:
(Phần này sẽ trình bày lời giải chi tiết của bài toán, bao gồm các bước thực hiện và kết quả cụ thể. Lời giải sẽ được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các hình vẽ minh họa nếu cần thiết.)
Giả sử AB = 5, BC = 7 và góc giữa AB và BC là 60 độ. Hãy tính độ dài AC và góc giữa AC và AB.
(Phần này sẽ trình bày một ví dụ cụ thể để minh họa phương pháp giải bài toán.)
Để rèn luyện kỹ năng giải bài toán về vectơ, các em có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Khi giải bài toán về vectơ, các em cần lưu ý những điều sau:
Bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng giúp các em học sinh củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải mà giaibaitoan.com cung cấp, các em sẽ tự tin giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
