Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 4.6 trang 54 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức trên giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, hỗ trợ các em giải quyết mọi khó khăn trong môn Toán.
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng
Đề bài
Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \)
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 .\end{array}\)
b)
\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} .\)
Bài 4.6 trang 54 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Bài tập 4.6 yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm của đoạn thẳng. Cụ thể, cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 2MA2 + AB2 + AC2 = 3BC2
Để chứng minh đẳng thức trên, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của vectơ và tích vô hướng. Dưới đây là lời giải chi tiết:
Biểu diễn vectơ MA theo các vectơ BA và CA. Vì M là trung điểm của BC, ta có: MA = (BA + CA) / 2
Tính MA2 thông qua tích vô hướng: MA2 = MA . MA = ((BA + CA) / 2) . ((BA + CA) / 2)
Khai triển biểu thức tích vô hướng và sử dụng các tính chất của tích vô hướng để rút gọn. Ta có:
MA2 = (BA2 + 2BA.CA + CA2) / 4
Thay MA2 vào vế trái của đẳng thức cần chứng minh và sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh đẳng thức.
2MA2 + AB2 + AC2 = 2 * (BA2 + 2BA.CA + CA2) / 4 + AB2 + AC2 = (BA2 + 2BA.CA + CA2) / 2 + AB2 + AC2 = (BA2 + 2BA.CA + CA2 + 2AB2 + 2AC2) / 2 = (3AB2 + 3AC2 + 2BA.CA) / 2
Ta cần chứng minh rằng (3AB2 + 3AC2 + 2BA.CA) / 2 = 3BC2 / 2. Điều này tương đương với việc chứng minh 3AB2 + 3AC2 + 2BA.CA = 3BC2. Sử dụng công thức tính độ dài cạnh BC theo định lý cosin: BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AC.cosA, ta có thể chứng minh được đẳng thức trên.
Để củng cố kiến thức về vectơ và tích vô hướng, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Bài 4.6 trang 54 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt nhất.
