Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi tư duy và vận dụng kiến thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức Toán học một cách nhanh chóng và hiệu quả nhất.
Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?
Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa \(\sin \alpha \) và \(\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\), giữa \(\cos \alpha \) và \(\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\).
Phương pháp giải:
Nhận xét vị trí của M và M’ trong mỗi trường hợp: \(\alpha = {90^o};\;\alpha < {90^o};\;\alpha > {90^o}.\)
Khi \({0^o} < \alpha < {90^o}\): \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.
Lời giải chi tiết:
M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \).
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\). Khi đó \(\cos \alpha = {x_0};\;\;\sin \alpha = {y_o}\)
Trường hợp 1: \(\alpha = {90^o}\)
Khi đó \(\alpha = {180^o} - \alpha = {90^o}\)
Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.
Và \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = 0;\\\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin {90^o} = 1.\\\cot \alpha = 0\end{array} \right.\)
Không tồn tại \(\tan \alpha \) với \(\alpha = {90^o}\)
Trường hợp 2: \(\alpha < {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha > {90^o}\)
M nằm bên phải trục tung
M’ nằm bên trái trục tung
Dễ thấy: \(\widehat {M'OC} = {180^o} - \widehat {xOM'} = {180^o} - \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \alpha = \widehat {xOM}\)
Suy ra \( \widehat {M'OB} = {90^o} - \widehat {M'OC} = {90^o} - \widehat {MOA} = \widehat {MOB}\)
Xét tam giác \(M'OB\) và tam giác \(MOB\) ta có:
\(OM = OM'\)
\(\widehat {M'OB} = \widehat {MOB}\)
OB chung
Suy ra \( \Delta MOB = \Delta M'OB \)
Suy ra OM = OM', BM = BM'.
Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.
Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(M'\left( { - {x_0};{y_o}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - {x_0} = - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)
Trường hợp 3: \(\alpha > {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha < {90^o}\)
Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.
Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Như vậy
\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - {x_0} = - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)
Kết luận: Với mọi \({0^o} < \alpha < {180^o}\), ta luôn có
\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha .\\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \;\;\;(\alpha \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array}\)
Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \) (\(\widehat {xOM} = \alpha ,\;\;\widehat {xON} = {90^o} - \alpha \)). Chứng mình rằng \(\Delta MOP = \Delta NOQ\). Từ đó nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha \) và \(\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\).
Phương pháp giải:
Nhận xét vị trí của M và N trong mỗi trường hợp: \(\alpha = {90^o};\;\alpha < {90^o}\)
Khi \({0^o} < \alpha < {90^o}\): \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.
Lời giải chi tiết:
Trường hợp 1: \(\alpha = {90^o}\)
Khi đó \({90^o} - \alpha = {0^o}\)
Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.
Và \(\cos \alpha = 0 = \sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\)
Trường hợp 2: \({0^o} < \alpha < {90^o} \Rightarrow {0^o} < {90^o} - \alpha < {90^0}\)
M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.
Ta có: \(\alpha = \widehat {AOM};\;\;{90^o} - \alpha = \widehat {AON}\)
Dễ thấy: \(\widehat {AON} = {90^o} - \alpha = {90^o} - \widehat {NOB}\;\;\; \Rightarrow \alpha = \widehat {NOB}\)
Xét hai tam giác vuông \(NOQ\) và tam giác \(MOP\) ta có:
\(OM = ON\)
\(\widehat {POM} = \widehat {QON}\)
Suy ra \( \Delta NOQ = \Delta MOP\)
Suy ra OP = OQ, QN = MP.
Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(N\left( {{y_o};{x_0}} \right)\). Nói cách khác:
\(\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?
Phương pháp giải:
Bước 1: Giả sử chiều quay của chiếc đu quay. Xác định vị trí của cabin sau 20 phút.
Bước 2: Dựa vào giá trị lượng giác của góc, xác định khoảng cách từ cabin đến Ox (trong hình H.3.7)
Bước 3: Suy ra độ cao của người đó sau 20 phút quay.
Lời giải chi tiết:
Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.
Gọi M là vị trí của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A A’, B, H như hình dưới.
Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng \(\frac{2}{3}\) chu vi đường tròn.
Sau 15 phút cabin đi chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được \(\frac{1}{2}\) chu vi đường tròn.
Trong 5 phút tiếp theo cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng \(\frac{1}{6}\) chu vi đường tròn hay \(\frac{1}{3}\) cung .
Do đó: \(\widehat {BOM'} = \frac{1}{3}{.180^o} = {60^o}\)\( \Rightarrow \widehat {AOM'} = {90^o} - {60^o} = {30^o}.\)
\( \Rightarrow M'H = \sin {30^o}.OM' = \frac{1}{2}.75 = 37,5\left( m \right).\)
Suy ra độ cao của người đó là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).
Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.
Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa \(\sin \alpha \) và \(\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\), giữa \(\cos \alpha \) và \(\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\).
Phương pháp giải:
Nhận xét vị trí của M và M’ trong mỗi trường hợp: \(\alpha = {90^o};\;\alpha < {90^o};\;\alpha > {90^o}.\)
Khi \({0^o} < \alpha < {90^o}\): \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.
Lời giải chi tiết:
M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \).
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\). Khi đó \(\cos \alpha = {x_0};\;\;\sin \alpha = {y_o}\)
Trường hợp 1: \(\alpha = {90^o}\)
Khi đó \(\alpha = {180^o} - \alpha = {90^o}\)
Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.
Và \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = 0;\\\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin {90^o} = 1.\\\cot \alpha = 0\end{array} \right.\)
Không tồn tại \(\tan \alpha \) với \(\alpha = {90^o}\)
Trường hợp 2: \(\alpha < {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha > {90^o}\)
M nằm bên phải trục tung
M’ nằm bên trái trục tung
Dễ thấy: \(\widehat {M'OC} = {180^o} - \widehat {xOM'} = {180^o} - \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \alpha = \widehat {xOM}\)
Suy ra \( \widehat {M'OB} = {90^o} - \widehat {M'OC} = {90^o} - \widehat {MOA} = \widehat {MOB}\)
Xét tam giác \(M'OB\) và tam giác \(MOB\) ta có:
\(OM = OM'\)
\(\widehat {M'OB} = \widehat {MOB}\)
OB chung
Suy ra \( \Delta MOB = \Delta M'OB \)
Suy ra OM = OM', BM = BM'.
Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.
Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(M'\left( { - {x_0};{y_o}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - {x_0} = - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)
Trường hợp 3: \(\alpha > {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha < {90^o}\)
Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.
Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Như vậy
\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - {x_0} = - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)
Kết luận: Với mọi \({0^o} < \alpha < {180^o}\), ta luôn có
\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha .\\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \;\;\;(\alpha \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array}\)
Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \) (\(\widehat {xOM} = \alpha ,\;\;\widehat {xON} = {90^o} - \alpha \)). Chứng mình rằng \(\Delta MOP = \Delta NOQ\). Từ đó nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha \) và \(\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\).
Phương pháp giải:
Nhận xét vị trí của M và N trong mỗi trường hợp: \(\alpha = {90^o};\;\alpha < {90^o}\)
Khi \({0^o} < \alpha < {90^o}\): \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.
Lời giải chi tiết:
Trường hợp 1: \(\alpha = {90^o}\)
Khi đó \({90^o} - \alpha = {0^o}\)
Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.
Và \(\cos \alpha = 0 = \sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\)
Trường hợp 2: \({0^o} < \alpha < {90^o} \Rightarrow {0^o} < {90^o} - \alpha < {90^0}\)
M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.
Ta có: \(\alpha = \widehat {AOM};\;\;{90^o} - \alpha = \widehat {AON}\)
Dễ thấy: \(\widehat {AON} = {90^o} - \alpha = {90^o} - \widehat {NOB}\;\;\; \Rightarrow \alpha = \widehat {NOB}\)
Xét hai tam giác vuông \(NOQ\) và tam giác \(MOP\) ta có:
\(OM = ON\)
\(\widehat {POM} = \widehat {QON}\)
Suy ra \( \Delta NOQ = \Delta MOP\)
Suy ra OP = OQ, QN = MP.
Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(N\left( {{y_o};{x_0}} \right)\). Nói cách khác:
\(\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?
Phương pháp giải:
Bước 1: Giả sử chiều quay của chiếc đu quay. Xác định vị trí của cabin sau 20 phút.
Bước 2: Dựa vào giá trị lượng giác của góc, xác định khoảng cách từ cabin đến Ox (trong hình H.3.7)
Bước 3: Suy ra độ cao của người đó sau 20 phút quay.
Lời giải chi tiết:
Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.
Gọi M là vị trí của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A A’, B, H như hình dưới.
Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng \(\frac{2}{3}\) chu vi đường tròn.
Sau 15 phút cabin đi chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được \(\frac{1}{2}\) chu vi đường tròn.
Trong 5 phút tiếp theo cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng \(\frac{1}{6}\) chu vi đường tròn hay \(\frac{1}{3}\) cung .
Do đó: \(\widehat {BOM'} = \frac{1}{3}{.180^o} = {60^o}\)\( \Rightarrow \widehat {AOM'} = {90^o} - {60^o} = {30^o}.\)
\( \Rightarrow M'H = \sin {30^o}.OM' = \frac{1}{2}.75 = 37,5\left( m \right).\)
Suy ra độ cao của người đó là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).
Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.
Mục 2 của chương trình Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào các khái niệm cơ bản về tập hợp, các phép toán trên tập hợp và các tính chất của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương tiếp theo. Bài tập trang 36 và 37 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức là cơ hội để học sinh rèn luyện và củng cố kiến thức đã học.
Bài tập này yêu cầu học sinh thực hiện các phép toán cơ bản trên tập hợp như hợp, giao, hiệu và phần bù. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa và tính chất của từng phép toán. Ví dụ:
Bài tập này yêu cầu học sinh chứng minh các tính chất của phép toán trên tập hợp như tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần sử dụng các định nghĩa và tính chất đã học để suy luận logic.
Ví dụ, để chứng minh tính giao hoán của phép hợp, ta cần chứng minh rằng A ∪ B = B ∪ A. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa của phép hợp.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tập hợp để giải quyết các bài toán thực tế. Ví dụ, bài toán về việc phân loại học sinh trong một lớp theo giới tính, hoặc bài toán về việc thống kê số lượng sản phẩm theo loại.
Để giúp học sinh giải quyết các bài tập một cách dễ dàng, giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập. Lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các giải thích và ví dụ minh họa. Học sinh có thể tham khảo lời giải để hiểu rõ cách giải bài tập và tự giải các bài tập tương tự.
Ngoài SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Việc giải bài tập mục 2 trang 36, 37 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán 10. Hy vọng rằng với sự hỗ trợ của giaibaitoan.com, các bạn học sinh sẽ học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt.
