Bài 24. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 24 trong chương trình Toán 10 - Kết nối tri thức tập trung vào ba khái niệm quan trọng trong đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Việc hiểu rõ ba khái niệm này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán đếm trong toán học và các lĩnh vực khác.

1. Hoán vị (Permutation)

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính bằng công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Chỉnh hợp (Combination with Repetition)

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử, trong đó thứ tự của các phần tử được chọn là quan trọng. Số chỉnh hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính bằng công thức:

A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n! / (n-k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 5 học sinh để làm nhiệm vụ?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₅² = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 x 4 = 20

3. Tổ hợp (Combination)

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử, trong đó thứ tự của các phần tử được chọn không quan trọng. Số tổ hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính bằng công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 5 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C₅³ = 5! / (3! * 2!) = (5 x 4 x 3!) / (3! x 2 x 1) = 10

4. Phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp nằm ở việc có hay không quan tâm đến thứ tự của các phần tử được chọn:

Hoán vị: Sắp xếp tất cả các phần tử, thứ tự quan trọng.
Chỉnh hợp: Chọn một số phần tử và sắp xếp chúng, thứ tự quan trọng.
Tổ hợp: Chọn một số phần tử, thứ tự không quan trọng.

5. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Huấn luyện viên muốn chọn 5 cầu thủ để đá chính. Có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Đây là bài toán tổ hợp vì thứ tự chọn cầu thủ không quan trọng. Số cách chọn là C₁₁⁵ = 11! / (5! * 6!) = 462

Bài 2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Giải: Đây là bài toán chỉnh hợp vì thứ tự các chữ số quan trọng. Số cách tạo thành là A₅³ = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60

6. Ứng dụng của Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Xác suất: Tính xác suất của các sự kiện.
Thống kê: Phân tích dữ liệu.
Khoa học máy tính: Thuật toán sắp xếp và tìm kiếm.
Mật mã học: Mã hóa và giải mã thông tin.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.