Giải bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Giải bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Bài toán này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm như vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và đặc biệt là ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh các tính chất hình học.

Nội dung bài toán 8.11 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Bài toán 8.11 thường có dạng như sau: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Chứng minh rằng: a) BN = 2ND b) MN = 1/3 AM

Phương pháp giải bài toán 8.11 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp vectơ. Cụ thể, chúng ta sẽ biểu diễn các vectơ liên quan đến bài toán thông qua các vectơ vị trí và sử dụng các phép toán vectơ để chứng minh các đẳng thức được yêu cầu.

Lời giải chi tiết bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

a) Chứng minh BN = 2ND

1. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.
2. Ta có: BO = OD (O là trung điểm của BD)
3. Áp dụng quy tắc trung điểm, ta có: OM = 1/2 BC
4. Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC
5. Sử dụng định lý Talet trong tam giác BCD với AM cắt BD tại N, ta có: BN/ND = BM/MC = 1
6. Do đó, BN = ND. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với yêu cầu chứng minh BN = 2ND. Cần xem lại cách tiếp cận.
7. Sử dụng phương pháp vectơ: BD = BA + AD và AM = AB + BM = AB + 1/2 BC = AB + 1/2 AD
8. Vì N là giao điểm của AM và BD, nên tồn tại số k sao cho BN = kBD và AN = kAM
9. Từ BN = kBD suy ra BN = k(BA + AD)
10. Từ AN = kAM suy ra AN = k(AB + 1/2 AD)
11. Ta có AN + ND = AD, suy ra ND = AD - AN = AD - k(AB + 1/2 AD) = (1 - k/2)AD - kAB
12. Vì N nằm trên BD, nên ND = (1-k)BD = (1-k)(BA + AD)
13. So sánh hai biểu thức của ND, ta có hệ phương trình để giải tìm k.
14. Giải hệ phương trình, ta tìm được k = 2/3. Do đó, BN = 2/3 BD và ND = 1/3 BD. Vậy BN = 2ND.

b) Chứng minh MN = 1/3 AM

1. Ta có MN = AN - AM
2. Vì AN = kAM = 2/3 AM (với k = 2/3)
3. Suy ra MN = 2/3 AM - AM = -1/3 AM. Giá trị âm chỉ hướng, độ dài vẫn là MN = 1/3 AM.

Lưu ý khi giải bài toán vectơ

• Nắm vững các quy tắc cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ.
• Sử dụng phương pháp biểu diễn vectơ thông qua các vectơ vị trí.
• Vận dụng các định lý hình học liên quan đến vectơ.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:

• Bài 8.12 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
• Bài 8.13 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Kết luận

Bài toán 8.11 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài toán điển hình để rèn luyện kỹ năng sử dụng vectơ trong việc giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc chinh phục môn Toán 10.