Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức. Mục 2 của chương trình học tập trung vào các kiến thức quan trọng, đòi hỏi sự nắm vững lý thuyết và kỹ năng vận dụng linh hoạt.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giaibaitoan.com đã biên soạn bộ giải bài tập này với mục đích hỗ trợ các em học sinh giải quyết các bài tập một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cảnh cầu vượt (H.6.13) Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, chiều cao của trụ tháp tính từ điêm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng ộ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).
Xét hàm số \(y = S(x) = - 2{x^2} + 20x(0 < x < 10)\)
a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn tọa độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2} + 20x\)trên khoảng (0; 10) như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị \(y = - 2{x^2} + 20x\) có giống với đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2}\) hay không?
b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2} + 20x\) trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.
c) Thực hiện phép biến đổi \(y = - 2{x^2} + 20x = - 2({x^2} - 10x) = - 2({x^2} - 2.5.x + 25) + 50 = - 2{(x - 5)^2} + 50\) Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}\)
Nhìn vào 2 đồ thị, ta thấy dạng đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2} + 20x\)giống với dạng đồ thị \(y = - 2{x^2}\)
b) Tọa độ điểm cao nhất là \(\left( {5;50} \right)\)
c) Ta có: \(S(x) = y = - 2{x^2} + 20x = - 2({x^2} - 10x) = - 2({x^2} - 2.5.x + 25) + 50 = - 2{(x - 5)^2} + 50\)
\({(x - 5)^2} \ge 0 \Rightarrow - 2{(x - 5)^2} + 50 \le 50 \Rightarrow S(x) \le 50\)
Do đó diện tích lớn nhất của mảnh đất rào chắn là 50 \(({m^2})\) khi x=5
Vẽ parabol \(y = 3{x^2} - 10x + 7\). Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3{x^2} - 10x + 7\).
Phương pháp giải:
-Vẽ đồ thị \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
Là 1 parabol có đỉnh là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
Quay bề lõm lên trên nếu a>0, quay bề lõm xuống dưới nếu a<0
Xác định 1 vài điểm đặc biệt đồ thị đi qua
- Quan sát đồ thị hàm số trên (a;b)
Hàm số đồng biến nếu đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải.
Hàm số nghịch biến nếu đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải
- giá trị nhỏ nhất của hàm số là điểm có vị trí thấp nhất trên đồ thị
Lời giải chi tiết:
Vẽ đồ thi \(y = 3{x^2} - 10x + 7\)
- Có đỉnh \(\)\(I\left( {\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{5}{3}\)
- Đi qua điểm \((0;7);\left( {1;0} \right)\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{5}{3}} \right)\); đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\)
Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai sau.
Từ các đồ thị trên, hãy hoàn thành bảng sau đây.
Lời giải chi tiết:
Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cảnh cầu vượt (H.6.13) Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, chiều cao của trụ tháp tính từ điêm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng ộ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).
Phương pháp giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc tọa độ, chân còn lại đặt trên tia Ox. Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng \(y = a{x^2} + bx\)
Ta đi tìm a, b và suy ra đỉnh của đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
Đồ thị \(y = a{x^2} + bx\) đi qua điểm có tọa độ (2,26;20) và (27;0)
Nên ta có \(\begin{array}{l}a.{(2,26)^2} + b.2,26 = 20\\a{.27^2} + b.27 = 0\end{array}\)\( \Leftrightarrow \)\(\begin{array}{l}a \approx - 0,358\\b \approx 9,666\end{array}\)
Do đó ta có hàm số \(y = - 0,358{x^2} + 9,666x\)
Tọa độ đỉnh là \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = 13,5\); \(y = 65,2455\)
Vậy độ cao của đỉnh trụ tháp cầu so với mặt đất khoảng 65,2455m
Xét hàm số \(y = S(x) = - 2{x^2} + 20x(0 < x < 10)\)
a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn tọa độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2} + 20x\)trên khoảng (0; 10) như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị \(y = - 2{x^2} + 20x\) có giống với đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2}\) hay không?
b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2} + 20x\) trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.
c) Thực hiện phép biến đổi \(y = - 2{x^2} + 20x = - 2({x^2} - 10x) = - 2({x^2} - 2.5.x + 25) + 50 = - 2{(x - 5)^2} + 50\) Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}\)
Nhìn vào 2 đồ thị, ta thấy dạng đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2} + 20x\)giống với dạng đồ thị \(y = - 2{x^2}\)
b) Tọa độ điểm cao nhất là \(\left( {5;50} \right)\)
c) Ta có: \(S(x) = y = - 2{x^2} + 20x = - 2({x^2} - 10x) = - 2({x^2} - 2.5.x + 25) + 50 = - 2{(x - 5)^2} + 50\)
\({(x - 5)^2} \ge 0 \Rightarrow - 2{(x - 5)^2} + 50 \le 50 \Rightarrow S(x) \le 50\)
Do đó diện tích lớn nhất của mảnh đất rào chắn là 50 \(({m^2})\) khi x=5
Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai sau.
Từ các đồ thị trên, hãy hoàn thành bảng sau đây.
Lời giải chi tiết:
Vẽ parabol \(y = 3{x^2} - 10x + 7\). Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3{x^2} - 10x + 7\).
Phương pháp giải:
-Vẽ đồ thị \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
Là 1 parabol có đỉnh là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
Quay bề lõm lên trên nếu a>0, quay bề lõm xuống dưới nếu a<0
Xác định 1 vài điểm đặc biệt đồ thị đi qua
- Quan sát đồ thị hàm số trên (a;b)
Hàm số đồng biến nếu đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải.
Hàm số nghịch biến nếu đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải
- giá trị nhỏ nhất của hàm số là điểm có vị trí thấp nhất trên đồ thị
Lời giải chi tiết:
Vẽ đồ thi \(y = 3{x^2} - 10x + 7\)
- Có đỉnh \(\)\(I\left( {\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{5}{3}\)
- Đi qua điểm \((0;7);\left( {1;0} \right)\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{5}{3}} \right)\); đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\)
Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cảnh cầu vượt (H.6.13) Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, chiều cao của trụ tháp tính từ điêm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng ộ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).
Phương pháp giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc tọa độ, chân còn lại đặt trên tia Ox. Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng \(y = a{x^2} + bx\)
Ta đi tìm a, b và suy ra đỉnh của đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
Đồ thị \(y = a{x^2} + bx\) đi qua điểm có tọa độ (2,26;20) và (27;0)
Nên ta có \(\begin{array}{l}a.{(2,26)^2} + b.2,26 = 20\\a{.27^2} + b.27 = 0\end{array}\)\( \Leftrightarrow \)\(\begin{array}{l}a \approx - 0,358\\b \approx 9,666\end{array}\)
Do đó ta có hàm số \(y = - 0,358{x^2} + 9,666x\)
Tọa độ đỉnh là \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = 13,5\); \(y = 65,2455\)
Vậy độ cao của đỉnh trụ tháp cầu so với mặt đất khoảng 65,2455m
Mục 2 của SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức thường xoay quanh các chủ đề về vectơ, các phép toán vectơ, và ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng cho các chương trình học toán ở các lớp trên.
Bài 1: Cho hai vectơ a và b. Tìm vectơ c sao cho a + b = c. (Giải thích chi tiết cách thực hiện phép cộng vectơ, minh họa bằng hình vẽ nếu cần thiết)
Bài 2: Cho tam giác ABC. Tìm vectơ AB + BC. (Giải thích mối liên hệ giữa các vectơ trong tam giác, sử dụng quy tắc hình bình hành)
Bài 3: Cho vectơ a = (x1, y1) và b = (x2, y2). Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b. (Giải thích công thức tính tích vô hướng, ví dụ minh họa)
Bài 4: Chứng minh rằng nếu a vuông góc với b thì a.b = 0. (Giải thích điều kiện vuông góc của hai vectơ, áp dụng công thức tích vô hướng)
Bài 5: Tính độ dài của vectơ a = (3, -4). (Giải thích công thức tính độ dài của vectơ, áp dụng vào bài toán cụ thể)
Bài 6: Tìm tọa độ của vectơ a biết rằng a cùng phương với vectơ b = (1, 2) và có độ dài bằng 5. (Giải thích khái niệm vectơ cùng phương, sử dụng hệ số tỉ lệ để tìm tọa độ)
Bài 7: Cho A(1, 2), B(3, 4). Tìm tọa độ của điểm M sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. (Giải thích công thức tính tọa độ trung điểm, áp dụng vào bài toán cụ thể)
Bài 8: Cho A(0, 1), B(2, 3). Tìm tọa độ của điểm C sao cho C nằm trên trục Ox và cách đều A và B. (Giải thích cách tìm điểm nằm trên trục Ox, sử dụng điều kiện cách đều để giải phương trình)
Giaibaitoan.com hy vọng rằng với bộ giải bài tập chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán 10. Chúc các em học tốt!
