Bài 7.37 trang 59 SGK Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Một cột trụ hình hypebol (H.736), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất
Đề bài
Một cột trụ hình hypebol (H.736), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất
chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa hai cột, trục Oy đi qua điểm chính giữa, hai bên cột lần lượt nằm về hai phía của trục tung (như hình vẽ).
Phương trình hypebol (H) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (với a, b>0)
Theo bài ra ta có: A1A2 = 0,8 m; AB = EH = 1 m. Khoảng cách giữa HE và AB là 6 m.
(H) cắt trục hoành tại hai điểm A1, A2, ta xác định được tọa độ 2 điểm là: A1(− 0,4; 0) và A2(0,4; 0).
Thay tọa độ A2 vào phương trình (H) ta được: \(\frac{{0,{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Suy ra a=0,4 (vì a>0)
Ta xác định được tọa độ điểm E là E(0,5; 3).
(H) đi qua điểm có tọa độ E(0,5; 3) nên: \(\frac{{0,{5^2}}}{{0,{4^2}}} - \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
⇔ b2 = 16 ⇒ b = 4 (do b > 0).
Vậy phương trình (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{0,{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\) hay \(\frac{{{x^2}}}{{0,16}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Gọi F là điểm thuộc hypebol mà cột có độ cao 5 m. Ở độ cao 5 m thì khoảng cách từ vị trí F đó đến trục hoành là 2 m, tương ứng ta có tung độ điểm F là y = 2, ta cần tìm hoành độ của F.
Thay y = 2 vào phương trình (H) ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{0,16}} - \frac{{{2^2}}}{{16}} = 1\)
⇔ x2 = 0,2 ⇔ x ≈ ± 0,45.
Vậy độ rộng của cột là: 0,45.2=0,9m (độ rộng là khoảng cách nên phải dương).
Bài 7.37 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến vectơ trong mặt phẳng tọa độ. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Bài 7.37 thường có dạng như sau: Cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là (xA, yA), (xB, yB), (xC, yC), (xD, yD). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành.
Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành, chúng ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán này. Giả sử A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), D(xD, yD). Ta có:
Để chứng minh ABCD là hình bình hành, ta cần chứng minh:
xB - xA = xC - xD và yB - yA = yC - yD
xD - xA = xC - xB và yD - yA = yC - yB
Nếu các điều kiện trên được thỏa mãn, thì ABCD là hình bình hành.
Cho A(1, 2), B(3, 4), C(5, 2), D(3, 0). Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Ta có:
Vì overrightarrow{AB} = overrightarrow{DC} và overrightarrow{AD} = overrightarrow{BC}, nên ABCD là hình bình hành.
Bài 7.37 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập một cách hiệu quả.
