Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Vecto trong mặt phẳng tọa độ, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về vecto, các phép toán với vecto, và ứng dụng của vecto trong việc giải quyết các bài toán hình học phẳng.
1. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO
1. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO
+) Trên mặt phẳng, hệ trục gồm hai trục Ox, Oy vuông góc với nhau tại O được gọi là hệ trục tọa độ.
Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.
+) Vecto đơn vị là vecto hướng là chiều dương, có độ dài bằng 1.
Quy ước: vecto đơn vị của trục Ox là \(\overrightarrow i \), vecto đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j \). Điểm O gọi là gốc tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+) Với mỗi vecto \(\overrightarrow u \) trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(({x_0};{y_0})\) sao cho \(\overrightarrow u = {x_0}.\overrightarrow i + {y_0}.\overrightarrow j \)
Ta nói vecto \(\overrightarrow u \) có tọa độ \(({x_0};{y_0})\) và viết \(\overrightarrow u = ({x_0};{y_0})\) hoặc \(\overrightarrow u ({x_0};{y_0})\).
Các số \({x_0},{y_0}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \).
+) Hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ
\(\overrightarrow u (x;y) = \overrightarrow v (x';y') \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\end{array} \right.\)
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO
+) Cho hai vecto \(\overrightarrow u = (x;y)\) và \(\overrightarrow v = (x';y')\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u + \overrightarrow v = (x + x';y + y')\\\overrightarrow u - \overrightarrow v = (x - x';y - y')\\k\overrightarrow u = (kx;ky)\quad (k \in \mathbb{R})\end{array}\)
+) Vecto \(\overrightarrow v \;(x';y')\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow u \;(x;y) \ne \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \exists \;k \in \mathbb{R}:x' = kx,\;y' = ky\) hay \(\frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\) nếu \(xy \ne 0.\)
+) Điểm M có tọa độ \((x;y)\) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ \((x;y)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
+) Với hai điểm \(M(x;y)\) và \(N(x';y')\) thì \(\overrightarrow {MN} = (x' - x;y' - y)\)
Khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{(x' - x)}^2} + {{(y' - y)}^2}} \)
+) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
+) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)
Vecto là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học và vật lý. Trong mặt phẳng tọa độ, vecto được biểu diễn bằng tọa độ, giúp chúng ta dễ dàng thực hiện các phép toán và giải quyết các bài toán liên quan.
Một vecto là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu A(xA; yA) và B(xB; yB) thì vecto AB có tọa độ là (xB - xA; yB - yA).
Hai vecto a và b được gọi là cùng phương nếu có một số thực k khác 0 sao cho a = k b.
Nếu k > 0, hai vecto a và bcùng chiều.
Nếu k < 0, hai vecto a và bngược chiều.
Vecto được sử dụng để biểu diễn các đại lượng vật lý như vận tốc, lực, gia tốc. Trong hình học, vecto được sử dụng để chứng minh các tính chất của hình, giải các bài toán về đường thẳng, đường tròn, và các hình khác.
Bài 1: Cho A(1; 2) và B(3; 4). Tìm tọa độ của vecto AB.
Giải: Tọa độ của vecto AB là (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2).
Bài 2: Cho a = (1; -2) và b = (3; 1). Tính a + b và 2a.
Giải:a + b = (1 + 3; -2 + 1) = (4; -1). 2a = (2 * 1; 2 * -2) = (2; -4).
Lý thuyết Vecto trong mặt phẳng tọa độ là một phần quan trọng của chương trình Toán 10. Việc nắm vững các khái niệm và tính chất của vecto sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác.
