Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 8 trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức tập trung vào một trong những phép toán cơ bản với vectơ: phép cộng và phép trừ. Việc nắm vững các quy tắc và tính chất của các phép toán này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học và vật lý phức tạp hơn.

1. Khái niệm về tổng của hai vectơ

Tổng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a + b, là một vectơ được xác định theo quy tắc hình bình hành. Cụ thể:

Vẽ hình bình hành ABCD với AB = a và AD = b.
Đường chéo AC chính là vectơ tổng a + b.

Quy tắc tam giác cũng có thể được sử dụng để xác định vectơ tổng: đặt gốc của vectơ b trùng với đỉnh cuối của vectơ a, vectơ tổng a + b là vectơ nối gốc của a với đỉnh cuối của b.

2. Tính chất của phép cộng vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất quan trọng sau:

Tính giao hoán: a + b = b + a
Tính kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)
Vectơ không: a + 0 = a (trong đó 0 là vectơ không)

3. Khái niệm về hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ a và b, ký hiệu là a - b, là một vectơ được xác định như sau:

a - b = a + (-b)

Trong đó, -b là vectơ đối của vectơ b. Vectơ đối của b có cùng độ dài và hướng ngược với b.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 3 và 4, và góc giữa chúng là 60°. Tính độ dài của vectơ a + b.

Giải:

Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ tổng:

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cos(α)

Trong đó α là góc giữa hai vectơ a và b.

Thay số vào, ta có:

|a + b|² = 3² + 4² + 2 * 3 * 4 * cos(60°)

|a + b|² = 9 + 16 + 24 * 0.5 = 25 + 12 = 37

|a + b| = √37

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA + MB + MC = 0.

Giải:

Vì M là trung điểm của BC, ta có MB = MC.

Do đó, MA + MB + MC = MA + 2MC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có MA + MC = BA.

Vậy, MA + MB + MC = BA + MB = BA + MC = 0.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tổng và hiệu của hai vectơ, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập có thể bao gồm:

Tìm vectơ tổng và hiệu của hai vectơ cho trước.
Chứng minh các đẳng thức vectơ.
Giải các bài toán hình học liên quan đến vectơ.

6. Kết luận

Bài 8 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về phép cộng và phép trừ vectơ. Việc hiểu rõ các khái niệm, tính chất và quy tắc này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán Toán 10 một cách hiệu quả và chính xác. Chúc các em học tập tốt!