Bài 3.4 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 thuộc chương 1: Mệnh đề và tập hợp, là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về mệnh đề, tập hợp và các phép toán trên tập hợp. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 3.4 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho góc thỏa mãn Tính giá trị biểu thức:
Đề bài
Cho góc \(\alpha \;\;({0^o} < \alpha < {180^o})\) thỏa mãn \(\tan \alpha = 3\)
Tính giá trị biểu thức: \(P = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos \alpha\).
Lời giải chi tiết
Vì \(\tan \alpha = 3\) nên \(\cos \alpha \ne 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \dfrac{{\frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{{2\tan \alpha - 3}}{{3\tan \alpha + 2}} = \dfrac{{2.3 - 3}}{{3.3 + 2}} = \dfrac{3}{{11}}.\end{array}\)
Cách 2:
Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha \ne {90^o})\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {3^2} = 10\)
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)
Vì \({0^o} < \alpha < {180^o}\) nên \(\sin \alpha > 0\).
Mà \(\tan \alpha = 3 > 0 \Rightarrow \cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)
Lại có: \(\sin \alpha = \cos \alpha .\tan \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.3 = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}.\)
\( \Rightarrow P = \dfrac{{2.\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} - 3.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}}}{{3.\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} + 2.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}}} = \dfrac{{\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\left( {2.3 - 3} \right)}}{{\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\left( {3.3 + 2} \right)}} = \dfrac{3}{{11}}.\)
Bài 3.4 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức yêu cầu học sinh xác định tính đúng sai của các mệnh đề và thực hiện các phép toán trên tập hợp. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về mệnh đề, tập hợp, tập con, phép hợp, phép giao, phép hiệu và phần bù.
Bài tập 3.4 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng câu hỏi cụ thể:
Mệnh đề: “Nếu a là một số tự nhiên thì a là một số nguyên.”
Phân tích: Mệnh đề này đúng. Vì tập hợp các số tự nhiên là một tập con của tập hợp các số nguyên. Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
Kết luận: Mệnh đề đúng.
Mệnh đề: “Nếu a là một số nguyên thì a là một số tự nhiên.”
Phân tích: Mệnh đề này sai. Vì không phải mọi số nguyên đều là số tự nhiên. Ví dụ, -1 là một số nguyên nhưng không phải là số tự nhiên.
Kết luận: Mệnh đề sai.
Cho A = {1, 2, 3} và B = {2, 4, 6}. Tìm A ∪ B.
Phân tích: Phép hợp của hai tập hợp A và B (ký hiệu A ∪ B) là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hoặc cả hai).
Giải: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}
Cho A = {1, 2, 3} và B = {2, 4, 6}. Tìm A ∩ B.
Phân tích: Phép giao của hai tập hợp A và B (ký hiệu A ∩ B) là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B.
Giải: A ∩ B = {2}
Để giải quyết các bài tập về mệnh đề và tập hợp, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể tham khảo các bài tập sau:
Bài 3.4 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về mệnh đề và tập hợp. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể tại giaibaitoan.com, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
