Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp các bất phương trình bậc nhất hai ẩn, được liên kết với nhau bằng các phép toán logic “và”. Một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

a₁x + b₁y ≤ c₁
a₂x + b₂y ≤ c₂

Trong đó, a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ là các số thực và a₁, b₁, a₂, b₂ không đồng thời bằng 0.

II. Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ. Miền nghiệm thường là một đa giác lồi vô hạn.

III. Phương pháp giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện các bước sau:

Vẽ miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.
Xác định miền giao của các miền nghiệm. Miền giao này chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Kiểm tra các điểm trong miền nghiệm để tìm ra các nghiệm của hệ.

IV. Ví dụ minh họa

Xét hệ bất phương trình sau:

x + y ≤ 2
x - y ≥ 0
x ≥ 0
y ≥ 0

Bước 1: Vẽ miền nghiệm của từng bất phương trình

x + y ≤ 2: Vẽ đường thẳng x + y = 2. Chọn điểm (0, 0) để kiểm tra. Vì 0 + 0 ≤ 2, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ.
x - y ≥ 0: Vẽ đường thẳng x - y = 0. Chọn điểm (0, 0) để kiểm tra. Vì 0 - 0 ≥ 0, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ.
x ≥ 0: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy.
y ≥ 0: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trên trục Ox.

Bước 2: Xác định miền giao

Miền giao của các miền nghiệm là một tứ giác có các đỉnh là (0, 0), (2, 0), (1, 1), (0, 2).

V. Bài tập luyện tập

Giải các hệ bất phương trình sau:

x + 2y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
2x - y ≥ 1, x + y ≤ 3, x ≥ 0
x + y ≥ 2, x - y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0

VI. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và sản xuất, như:

Lập kế hoạch sản xuất: Xác định lượng hàng hóa cần sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận.
Quản lý kho hàng: Xác định lượng hàng hóa cần lưu trữ để đáp ứng nhu cầu của thị trường.
Vận tải: Xác định tuyến đường tối ưu để giảm chi phí vận chuyển.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!