Quy tắc đếm là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong sách Kết nối tri thức. Nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán đếm một cách hiệu quả và chính xác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết về Lý thuyết Quy tắc đếm, bao gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập có đáp án.
1. Quy tắc cộng và sơ đồ hình cây
A. Lý thuyết
1. Quy tắc cộng và sơ đồ hình cây
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau: - Phương án một có m cách thực hiện. - Phương án hai có n cách thực hiện (không trùng với bất kỳ cách thực hiện nào của phương án một). Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là: m + n cách. |
Chú ý: Sơ đồ minh họa cách phân chia trường hợp như trên được gọi là sơ đồ hình cây. Trong các bài toán đếm, người ta thường dùng sơ đồ hình cây để minh họa, giúp cho việc đếm thuận tiện và không bị sót trường hợp.
2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp nhau: - Công đoạn một có m cách thực hiện. - Với mỗi cách thực hiện công đoạn một, có n cách thực hiện công đoạn hai. Khi đó số cách thực hiện công việc là: m.n cách. |
Chú ý: Quy tắc nhân áp dụng để tính số cách thực hiện một công việc có nhiều công đoạn, các công đoạn nối tiếp nhau và những công đoạn này độc lập với nhau.
3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân
Hầu hết các bài toán đếm trong thực tế sẽ phức tạp hơn và phải áp dụng cả hai quy tắc.
B. Bài tập
Bài 1: Bạn Phương có 7 quyển sách Tiếng Anh và 8 quyển sách Văn học, các quyển sách là khác nhau. Hỏi bạn Phương có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc?
Giải:
Việc chọn một quyển sách để đọc là thực hiện một trong hai hành động sau:
Chọn một quyển sách Tiếng Anh: Có 7 cách chọn.
Chọn một quyển sách Văn học: Có 8 cách chọn.
Vậy có 7 + 8 = 15 cách chọn một quyển sách để đọc.
Bài 2: Trong kinh doanh nhà hàng, combo là một hình thức gọi món theo thực đơn được kết hợp từ nhiều món ăn hoặc đồ uống. Nếu nhà hàng có 5 món rau, 4 món cá và 3 món thịt thì có bao nhiêu cách tạo ra một combo? Biết mỗi combo có đầy đủ 1 món rau, 1 món cá và 1 món thịt.
Giải:
Để tạo một combo, ta thực hiện ba hành động liên tiếp: chọn 1 món rau, chọn 1 món cá và chọn 1 món thịt.
Chọn 1 món rau: Có 5 cách chọn.
Chọn 1 món cá: Có 4 cách chọn.
Chọn 1 món thịt: Có 3 cách chọn.
Vậy có 5.4.3 = 60 cách tạo ra một combo.
Bài 3: Bạn Hương có 3 chiếc quần khác màu: xám, đen, nâu nhạt và 4 chiếc áo sơ mi khác màu: hồng, vàng, xanh, tím. Hãy vẽ sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn:
a) 1 chiếc quần.
b) 1 chiếc áo sơ mi.
c) 1 bộ quần áo.
Giải:
Các sơ đồ hình cây \({T_1},{T_2},{T_1}{T_2}\) trong hình vẽ lần lượt:
a) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc quần.
b) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc áo sơ mi.
c) Biểu thị số cách chọn 1 bộ quần áo.
Bài 4: Cho 10 điểm phân biệt. Hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác 0? Biết rằng hai đầu mút của mỗi vectơ là 2 trong 10 điểm đã cho.
Giải:
Việc lập vectơ là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn điểm đầu và chọn điểm cuối.
Chọn điểm đầu: Có 10 cách chọn. Chọn điểm cuối: Có 9 cách chọn. Theo quy tắc nhân, số vectơ lập được là: 10.9 = 90.
Bài 5: Đội văn nghệ của lớp 10B có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một đội tam ca gồm 3 học sinh sao cho có cả học sinh nam và học sinh nữ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn ra một đội tam ca như vậy?
Giải:
Khi chọn ra một đội tam ca gồm 3 học sinh có cả nam và nữ, giáo viên chủ nhiệm chỉ có thể chọn theo một trong hai khả năng.
* Xét khả năng thứ nhất: Chọn ra một học sinh nữ và hai học sinh nam.
- Có 3 cách chọn ra một học sinh nữ.
- Có 1 cách chọn ra hai học sinh nam.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn ra một sinh nữ và hai học sinh nam là: 3.1 = 3.
* Xét khả năng thứ hai: Chọn ra hai học sinh nữ và một học sinh nam.
- Có 3 cách chọn ra hai học sinh nữ.
- Có 2 cách chọn ra một học sinh nam.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn ra hai học sinh nữ và một học sinh nam là: 3.2 = 6.
Vậy theo tác cộng, số cách chọn ra một đội tam ca gồm 3 học sinh sao cho có cả học sinh nam và học sinh nữ cùng tham gia là: 3 + 6 = 9.
Bài 6: Cho kiểu gen AaBbDdEE. Giả sử quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy ra đột biến.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử.
b) Từ đó, tính số loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE.
Giải:
a) Sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử:
b) Từ sơ đồ hình cây, ta có 8 loại giao tử của kiểu gen AaBbDdEE.
Quy tắc đếm là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, cho phép chúng ta tính số lượng các phần tử trong một tập hợp mà không cần phải liệt kê chúng ra. Trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức, quy tắc đếm được giới thiệu như một nền tảng quan trọng cho các kiến thức tiếp theo, đặc biệt là trong lĩnh vực tổ hợp.
Trước khi đi sâu vào các quy tắc cụ thể, chúng ta cần hiểu rõ một số khái niệm cơ bản:
Quy tắc cộng được sử dụng khi chúng ta muốn tính số lượng các phần tử trong một hợp của hai tập hợp rời nhau. Cụ thể:
Nếu một biến cố A có thể xảy ra theo m cách, và một biến cố B có thể xảy ra theo n cách, thì số cách để xảy ra biến cố A hoặc B (A ∪ B) là:
|A ∪ B| = m + n
Ví dụ: Một học sinh có 3 chiếc áo sơ mi và 2 chiếc quần. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?
Giải: Học sinh có 3 cách chọn áo và 2 cách chọn quần. Vậy tổng số cách chọn một bộ quần áo là 3 + 2 = 5 cách.
Quy tắc nhân được sử dụng khi chúng ta muốn thực hiện một chuỗi các hành động độc lập. Cụ thể:
Nếu một biến cố A có thể xảy ra theo m cách, và sau khi biến cố A xảy ra, biến cố B có thể xảy ra theo n cách, thì số cách để thực hiện cả hai biến cố A và B (A ∩ B) là:
|A ∩ B| = m * n
Ví dụ: Một người cần đi từ thành phố A đến thành phố B bằng ô tô. Có 2 con đường từ A đến B. Sau đó, người đó cần đi từ thành phố B đến thành phố C. Có 3 con đường từ B đến C. Hỏi người đó có bao nhiêu cách đi từ A đến C?
Giải: Người đó có 2 cách đi từ A đến B và 3 cách đi từ B đến C. Vậy tổng số cách đi từ A đến C là 2 * 3 = 6 cách.
Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử là:
Pn = n!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?
Giải: Số cách sắp xếp 3 cuốn sách là P3 = 3! = 3 * 2 * 1 = 6 cách.
Tổ hợp là một cách chọn một số phần tử từ một tập hợp mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử là:
Cnk = n! / (k! * (n-k)!)
Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một lớp có 10 học sinh?
Giải: Số cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh là C102 = 10! / (2! * 8!) = 45 cách.
Chỉnh hợp là một cách chọn một số phần tử từ một tập hợp và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
Ank = n! / (n-k)!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp có 10 học sinh để làm ban cán sự lớp (chủ nhiệm và phó chủ nhiệm)?
Giải: Số cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ 10 học sinh là A102 = 10! / 8! = 90 cách.
Để củng cố kiến thức về quy tắc đếm, bạn có thể thực hành các bài tập sau:
Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về Lý thuyết Quy tắc đếm - SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
