Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về xác suất, giúp bạn hiểu rõ hơn về các khái niệm như biến cố, không gian mẫu và cách tính xác suất của một biến cố.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng dễ hiểu, bài tập đa dạng và đáp án chi tiết, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Biến cố
A. Lý thuyết
1. Biến cố
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể được dự đoán trước khi phép thử được thực hiện. Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu của phép thử được ký hiệu là Ω. Kết quả thuận lợi cho một biến cố E liên quan tới phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra. |
Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.
Mỗi biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu Ω. Tập con này là tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó. |
Nhận xét: Biến cố chắc chắn là tập Ω, biến cố không thể là tập ∅.
Biến cố đối của biến cố E là biến cố “E không xảy ra”. Biến cố đối của E được kí hiệu là \(\overline E \). |
Nhận xét: Nếu biến cố E là tập con của không gian mẫu Ω thì biến cố đối \(\overline E \) là tập hợp tất cả các phần tử của Ω mà không là phần tử của E. Vậy biến cố \(\overline E \) là phần bù của E trong Ω: \(\overline E = {C_\Omega }E\).
2. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Xét phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả có thể xảy ra và khả năng xảy ra của từng kết quả là giống nhau. Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử đó. Khi đó, với mỗi biến cố A, ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau:
Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω. Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng. Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởi công thức \(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}}\) trong đó n(E), n(Ω) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E. |
Nhận xét:
+ \(P(\emptyset ) = 0\); \(P(\Omega ) = 1\).
+ \(0 \le P(E) \le 1\) với mỗi biến cố E.
3. Nguyên lí xác suất bé
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
Tuy nhiên, một xác suất như thế nào được xem là bé phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể.
B. Bài tập
Bài 1: Một hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong hộp, ghi lại màu của quả bóng được lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên tiếp 2 quả bóng trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó.
Giải:
Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp Ω = {XX; XD; XV; ĐD; ĐV; DX; DV; VX; VD}, ở đó, chẳng hạn XD là kết quả “Lần thứ nhất lấy ra quả bóng xanh, lần thứ hai lấy ra quả bóng đỏ”.
Bài 2: Gieo một đồng xu cản đối liên tiếp ba lần. Gọi E là biến cố: “Có hai lần xuất hiện mặt sấp và một lần xuất hiện mặt ngửa". Tính xác suất của biến cố E.
Giải:
Kí hiệu S và N tương ứng là đồng xu ra mặt sấp và đồng xu ra mặt ngửa. Không gian mẫu Ω = {SSN; SNS; SNN; SSS; NSN; NNS; NNN; NSS}. E = {SSN; SNS; NSS}.
Ta có n(Ω) = 8; n(E) = 3. Do đồng xu cân đối nên các kết quả có thể là đồng khả năng.
Vậy \(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}}\).
Bài 3: Gieo một con xúc xắc 6 mặt và quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi M là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn". Nội dung biến cố đối M của M là gì?
c) Các biến cố M và \(\overline M \) là tập con nào của không gian mẫu?
Giải:
a) Không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
b) Biến cố đối M của M là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số lẻ”.
c) Ta có \(M = \{ 2;4;6\} \subset \Omega \); \(\overline M = {C_\Omega }M = \{ 1;3;5\} \subset \Omega \).
Xác suất là một lĩnh vực quan trọng của toán học, ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học. Việc nắm vững kiến thức về xác suất là nền tảng để giải quyết các bài toán thực tế và hiểu rõ hơn về thế giới xung quanh.
Trong thực tế, chúng ta thường gặp những sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra. Mỗi sự kiện như vậy được gọi là một biến cố. Ví dụ:
Không gian mẫu (ký hiệu Ω) là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm. Ví dụ:
Trong trường hợp không gian mẫu hữu hạn và các kết quả là đồng khả năng, xác suất của một biến cố A (ký hiệu P(A)) được tính theo công thức:
P(A) = Số kết quả thuận lợi cho A / Tổng số kết quả có thể xảy ra
Ví dụ:
Xác suất có những tính chất quan trọng sau:
Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được quả bóng đỏ.
Giải:
Bài 2: Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai lần gieo là 7.
Giải:
Các kết quả có thể xảy ra để tổng số chấm là 7 là: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Có tổng cộng 6 kết quả.
Tổng số kết quả có thể xảy ra khi gieo xúc xắc hai lần là 6 x 6 = 36.
Xác suất để tổng số chấm là 7 là P(Tổng = 7) = 6/36 = 1/6.
Lý thuyết biến cố và xác suất có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
