Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 4 trang 41, 42 SGK Toán 10 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào các kiến thức cơ bản về tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng của chúng.
Cho tam giác ABC với I là tâm đường trong nội tiếp tam giác Cho tam giác ABC với đường cao BD. a) Biểu thị BD theo AB và sinA. Tính diện tích tam giác ABC có b = 2, B = 30, C = 45 Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không? Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17
Tính diện tích tam giác ABC có \(b = 2,\;\widehat B = {30^o},\;\widehat C = {45^o}\).
Phương pháp giải:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
Bước 1: Tính c bằng cách áp dụng định lí sin.
Bước 2: Tính góc \(\;\widehat A\), tính \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
\( \Rightarrow c = \sin C.\frac{b}{{\sin B}} = \sin {45^o}.\frac{2}{{\sin {{30}^o}}} = 2\sqrt 2 \)
Lại có: \(\;\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {30^o} - {45^o} = {105^o}\)
Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.2.2\sqrt 2 .\sin {105^o} = 1 + \sqrt 3 .\)
Vậy diện tích tam giác ABC là \(1 + \sqrt 3 \).
Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?
Phương pháp giải:
Nhắc lại:
+) công thức tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
+) \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Bước 1: Tính sin A theo cos A. Lưu ý: \(\sin A > 0\)
Bước 2: Thay sin A vào \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\) Rút gọn biểu thức rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Mà \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\)
\( \Rightarrow \sin A = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)
Do \({0^o} < \widehat A < {180^o}\) nên \(\sin A > 0\) hay \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}} = \sqrt {1 - \frac{{{{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{4{b^2}{c^2}}}} \\ = \sqrt {\frac{{4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{4{b^2}{c^2}}}} = \frac{{\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}} }}{{2bc}}\end{array}\)
Thế vào công thức tính diện tích tam giác ABC ta được:
\(S = \frac{1}{2}bc.\frac{{\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}} }}{{2bc}} = \frac{1}{4}.\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}} \)
Chú ý:
Nếu tiếp tục biến đổi công thức diện tích ta được
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{4}.\sqrt {\left( {2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2}} \right)} \\ = \frac{1}{4}.\sqrt {\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]} \\ = \frac{1}{4}.\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} \end{array}\)
Đến đây, đặt \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\), là nửa chu vi tam giác ABC, ta suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}b + c + a = 2p\\b + c - a = b + c + a - 2a = 2\left( {p - a} \right)\\a - b + c = b + c + a - 2b = 2\left( {p - b} \right)\\a + b - c = b + c + a - 2c = 2\left( {p - c} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{4}\sqrt {2\left( {p - a} \right).2p.2\left( {p - b} \right).2\left( {p - c} \right)} \\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \end{array}\)
(công thức Heron)
Cho tam giác ABC với đường cao BD.
a) Biểu thị BD theo AB và sinA.
b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b,c, sin A.
Phương pháp giải:
a) Biểu thị BD dựa vào sin A (hoặc \(\sin \left( {{{180}^o} - {\rm{ }}A} \right)\)) trong tam giác vuông ABD.
b)
+) Tính \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BD.AC\)
+) Thay BD ở ý a) để suy ra công thức tính S theo b,c và sin A.
Lời giải chi tiết:
a) Xét tam giác vuông ABD vuông tại D ta có:
TH1: góc A nhọn
\(\sin A = \frac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow BD = AB.\sin A\)
TH2: góc A tù
\(\sin A = \sin ({180^o} - A) = \frac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow BD = AB.\sin A\)
Vậy \(BD = AB.\sin A\)
b) Ta có diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}BD.AC\)
Mà \(BD = AB.\sin A = c.\sin A\); BC = a. Thế vào (*) ta được:
\(S = \frac{1}{2}c.\sin A.b\) hay \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
Vậy diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A là \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
Cho tam giác ABC với I là tâm đường trong nội tiếp tam giác.
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Tính diện tích tam giác ABC theo r,a,b,c.
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích tam giác ABC theo diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Diện tích tam giác IBC: \({S_{IBC}} = \frac{1}{2}r.a\).
Lời giải chi tiết:
a) Diện tích tam giác ABC là: \[S = {S_{IAB}} + {S_{IBC}} + {S_{IAC}}\]
b)
Kí hiệu: D,E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{IAB}} = \frac{1}{2}.ID.AB = \frac{1}{2}r.c\\{S_{IBC}} = \frac{1}{2}IE.BC = \frac{1}{2}r.a\\{S_{IAC}} = \frac{1}{2}IF.AC = \frac{1}{2}r.b\end{array}\)
\( \Rightarrow S = \frac{1}{2}r.c + \frac{1}{2}r.a + \frac{1}{2}r.b = \frac{1}{2}r.\left( {a + b + c} \right)\)
Vậy diện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là \(S = \frac{1}{2}r.\left( {a + b + c} \right)\).
Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế dộ tình khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên hòa bình.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA bằng công thức Herong:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Bước 2: Tính diện tích ngũ giác ABCDE, bằng tổng diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA.
Lời giải chi tiết:
Xét tam giác CDB, ta có: CD = 441, CB = 575 và DB = 538 (đơn vị: m)
Và nửa chu vi là: \(\frac{{441 + 575 + 538}}{2} = 777(m)\)
Do đó: \({S_{CDB}} = \sqrt {777.\left( {777 - 441} \right).\left( {777 - 575} \right).\left( {777 - 538} \right)} \approx 112267,7\left( {{m^2}} \right)\)
Xét tam giác DBE, ta có: DE = 217, EB = 476 và DB = 538 (đơn vị: m)
Và nửa chu vi là: \(\frac{{217 + 476 + 538}}{2} = 615,5(m)\)
Do đó: \({S_{DBE}} = \sqrt {615,5.\left( {615,5 - 217} \right).\left( {615,5 - 476} \right).\left( {615,5 - 538} \right)} \approx 51495,13\left( {{m^2}} \right)\)
Xét tam giác ABE, ta có: AE = 401, EB = 476 và BA =256 (đơn vị: m)
Và nửa chu vi là: \(\frac{{401 + 476 + 256}}{2} = 566,5(m)\)
Do đó: \({S_{ABE}} = \sqrt {566,5.\left( {566,5 - 401} \right).\left( {566,5 - 476} \right).\left( {566,5 - 256} \right)} \approx 51327,97\left( {{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích S của ngũ giác ABCDE là: \(S = {S_{CDB}} + {S_{DBE}} + {S_{ABE}} \approx 112267,7 + 51495,13 + 51327,97 = 215090,8\left( {{m^2}} \right)\)
Chú ý
+) Để tính diện tích ngũ giác ABCDE thông qua các tam giác nhỏ, ta cần chọn các tam giác thỏa mãn: “phần trong của chúng không đè lên nhau” và “ghép lại vừa khít tạo thành ngũ giác ABCDE”
+) Ưu tiên tính thông qua các tam giác đã biết đủ các cạnh.
Cho tam giác ABC với I là tâm đường trong nội tiếp tam giác.
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Tính diện tích tam giác ABC theo r,a,b,c.
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích tam giác ABC theo diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Diện tích tam giác IBC: \({S_{IBC}} = \frac{1}{2}r.a\).
Lời giải chi tiết:
a) Diện tích tam giác ABC là: \[S = {S_{IAB}} + {S_{IBC}} + {S_{IAC}}\]
b)
Kí hiệu: D,E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{IAB}} = \frac{1}{2}.ID.AB = \frac{1}{2}r.c\\{S_{IBC}} = \frac{1}{2}IE.BC = \frac{1}{2}r.a\\{S_{IAC}} = \frac{1}{2}IF.AC = \frac{1}{2}r.b\end{array}\)
\( \Rightarrow S = \frac{1}{2}r.c + \frac{1}{2}r.a + \frac{1}{2}r.b = \frac{1}{2}r.\left( {a + b + c} \right)\)
Vậy diện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là \(S = \frac{1}{2}r.\left( {a + b + c} \right)\).
Cho tam giác ABC với đường cao BD.
a) Biểu thị BD theo AB và sinA.
b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b,c, sin A.
Phương pháp giải:
a) Biểu thị BD dựa vào sin A (hoặc \(\sin \left( {{{180}^o} - {\rm{ }}A} \right)\)) trong tam giác vuông ABD.
b)
+) Tính \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BD.AC\)
+) Thay BD ở ý a) để suy ra công thức tính S theo b,c và sin A.
Lời giải chi tiết:
a) Xét tam giác vuông ABD vuông tại D ta có:
TH1: góc A nhọn
\(\sin A = \frac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow BD = AB.\sin A\)
TH2: góc A tù
\(\sin A = \sin ({180^o} - A) = \frac{{BD}}{{AB}} \Rightarrow BD = AB.\sin A\)
Vậy \(BD = AB.\sin A\)
b) Ta có diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}BD.AC\)
Mà \(BD = AB.\sin A = c.\sin A\); BC = a. Thế vào (*) ta được:
\(S = \frac{1}{2}c.\sin A.b\) hay \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
Vậy diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A là \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
Tính diện tích tam giác ABC có \(b = 2,\;\widehat B = {30^o},\;\widehat C = {45^o}\).
Phương pháp giải:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
Bước 1: Tính c bằng cách áp dụng định lí sin.
Bước 2: Tính góc \(\;\widehat A\), tính \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
\( \Rightarrow c = \sin C.\frac{b}{{\sin B}} = \sin {45^o}.\frac{2}{{\sin {{30}^o}}} = 2\sqrt 2 \)
Lại có: \(\;\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {30^o} - {45^o} = {105^o}\)
Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.2.2\sqrt 2 .\sin {105^o} = 1 + \sqrt 3 .\)
Vậy diện tích tam giác ABC là \(1 + \sqrt 3 \).
Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?
Phương pháp giải:
Nhắc lại:
+) công thức tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
+) \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Bước 1: Tính sin A theo cos A. Lưu ý: \(\sin A > 0\)
Bước 2: Thay sin A vào \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\) Rút gọn biểu thức rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Mà \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\)
\( \Rightarrow \sin A = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)
Do \({0^o} < \widehat A < {180^o}\) nên \(\sin A > 0\) hay \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}} = \sqrt {1 - \frac{{{{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{4{b^2}{c^2}}}} \\ = \sqrt {\frac{{4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{4{b^2}{c^2}}}} = \frac{{\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}} }}{{2bc}}\end{array}\)
Thế vào công thức tính diện tích tam giác ABC ta được:
\(S = \frac{1}{2}bc.\frac{{\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}} }}{{2bc}} = \frac{1}{4}.\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2}} \)
Chú ý:
Nếu tiếp tục biến đổi công thức diện tích ta được
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{4}.\sqrt {\left( {2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2}} \right)} \\ = \frac{1}{4}.\sqrt {\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]} \\ = \frac{1}{4}.\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} \end{array}\)
Đến đây, đặt \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\), là nửa chu vi tam giác ABC, ta suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}b + c + a = 2p\\b + c - a = b + c + a - 2a = 2\left( {p - a} \right)\\a - b + c = b + c + a - 2b = 2\left( {p - b} \right)\\a + b - c = b + c + a - 2c = 2\left( {p - c} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{4}\sqrt {2\left( {p - a} \right).2p.2\left( {p - b} \right).2\left( {p - c} \right)} \\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \end{array}\)
(công thức Heron)
Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế dộ tình khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên hòa bình.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA bằng công thức Herong:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Bước 2: Tính diện tích ngũ giác ABCDE, bằng tổng diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA.
Lời giải chi tiết:
Xét tam giác CDB, ta có: CD = 441, CB = 575 và DB = 538 (đơn vị: m)
Và nửa chu vi là: \(\frac{{441 + 575 + 538}}{2} = 777(m)\)
Do đó: \({S_{CDB}} = \sqrt {777.\left( {777 - 441} \right).\left( {777 - 575} \right).\left( {777 - 538} \right)} \approx 112267,7\left( {{m^2}} \right)\)
Xét tam giác DBE, ta có: DE = 217, EB = 476 và DB = 538 (đơn vị: m)
Và nửa chu vi là: \(\frac{{217 + 476 + 538}}{2} = 615,5(m)\)
Do đó: \({S_{DBE}} = \sqrt {615,5.\left( {615,5 - 217} \right).\left( {615,5 - 476} \right).\left( {615,5 - 538} \right)} \approx 51495,13\left( {{m^2}} \right)\)
Xét tam giác ABE, ta có: AE = 401, EB = 476 và BA =256 (đơn vị: m)
Và nửa chu vi là: \(\frac{{401 + 476 + 256}}{2} = 566,5(m)\)
Do đó: \({S_{ABE}} = \sqrt {566,5.\left( {566,5 - 401} \right).\left( {566,5 - 476} \right).\left( {566,5 - 256} \right)} \approx 51327,97\left( {{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích S của ngũ giác ABCDE là: \(S = {S_{CDB}} + {S_{DBE}} + {S_{ABE}} \approx 112267,7 + 51495,13 + 51327,97 = 215090,8\left( {{m^2}} \right)\)
Chú ý
+) Để tính diện tích ngũ giác ABCDE thông qua các tam giác nhỏ, ta cần chọn các tam giác thỏa mãn: “phần trong của chúng không đè lên nhau” và “ghép lại vừa khít tạo thành ngũ giác ABCDE”
+) Ưu tiên tính thông qua các tam giác đã biết đủ các cạnh.
Mục 4 trang 41, 42 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc củng cố kiến thức về tập hợp, bao gồm các khái niệm cơ bản, các phép toán trên tập hợp (hợp, giao, hiệu, bù) và các tính chất của chúng. Việc nắm vững các kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương trình Toán học ở các lớp trên.
Bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh:
Bài 1 yêu cầu xác định các tập hợp con của một tập hợp cho trước. Để giải bài này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của tập hợp con: Một tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Việc liệt kê tất cả các tập hợp con có thể được thực hiện bằng cách xem xét từng phần tử của tập hợp gốc và quyết định xem nó có thuộc tập hợp con hay không.
Bài 2 yêu cầu thực hiện phép hợp của hai tập hợp. Phép hợp của hai tập hợp A và B (ký hiệu là A ∪ B) là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hoặc cả hai). Khi thực hiện phép hợp, cần đảm bảo không lặp lại các phần tử.
Bài 3 yêu cầu thực hiện phép giao của hai tập hợp. Phép giao của hai tập hợp A và B (ký hiệu là A ∩ B) là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Nếu không có phần tử nào chung giữa A và B, thì phép giao là tập hợp rỗng.
Bài 4 yêu cầu tìm tập bù của một tập hợp trong một tập hợp cho trước. Tập bù của tập hợp A trong tập hợp B (ký hiệu là B \ A) là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A. Để tìm tập bù, cần xác định rõ tập hợp B (tập vũ trụ) và loại bỏ các phần tử của A khỏi B.
Cho A = {1, 2, 3} và B = {2, 4, 5}. Hãy tìm:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về tập hợp, các em có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em tự tin hơn khi giải các bài toán phức tạp hơn.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh đã có thể tự tin giải các bài tập mục 4 trang 41, 42 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
