Hàm số bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 10, đặc biệt là theo sách Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết hàm số bậc hai không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp một hệ thống bài giảng chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết hàm số bậc hai, giúp bạn tiếp cận kiến thức một cách hiệu quả nhất.
A. Lý thuyết 1. Khái niệm hàm số bậc hai
A. Lý thuyết
1. Khái niệm hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức \(y = a{x^2} + bx + c\), trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và \(a \ne 0\). Tập xác định của hàm số bậc hai là \(\mathbb{R}\). |
Nhận xét: Hàm số \(y = a{x^2}\) \((a \ne 0)\) đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với b = c = 0.
2. Đồ thị của hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) có đồ thị là một đường parabol có đỉnh là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\). Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0. Để vẽ đường parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) ta tiến hành theo các bước sau: 1. Xác định tọa độ đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\). 2. Xác định trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}}\). 3. Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol. 4. Vẽ parabol. |
Nhận xét: Từ đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\), ta suy ra tính chất của hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\):
B. Bài tập
Bài 1: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
A. \(y = {x^2} + 3{x^2} + 2\)
B. \(y = \frac{1}{{{x^2}}}\)
C. \(y = - 3{x^2} + 1\)
D. \(y = 3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} - 3\frac{1}{x} - 1\)
Giải:
Hàm số \(y = - 3{x^2} + 1\) là hàm số bậc hai với a = -3, b = 0, c = 1. Hàm số thỏa mãn điều kiện \(a \ne 0\) \(( - 3 \ne 0)\) và có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Bài 2:
a) Vẽ parabol \(y = - 2{x^2} - 2x + 4\).
b) Từ đồ thị, hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - 2{x^2} - 2x + 4\).
Giải:
a) Ta có a = -2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
Đỉnh \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{9}{2}} \right)\). Trục đối xứng \(x = - \frac{1}{2}\). Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0;4). Parabol cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \( - 2{x^2} - 2x + 4 = 0\), tức là x = 1 và x = -2.
Để vẽ đồ thị chính xác hơn, ta có thể lấy thêm điểm đối xứng vói A qua trục đối xứng \(x = - \frac{1}{2}\) là B(-1;4).
b) Từ đồ thị ta thấy:
Hàm số \(y = - 2{x^2} - 2x + 4\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(y = \frac{9}{2}\) khi \(x = - \frac{1}{2}\).
Hàm số bậc hai là một hàm số có dạng y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Đây là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng nhất trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Hàm số bậc hai được xác định khi a ≠ 0. Tập xác định của hàm số bậc hai là tập số thực ℝ.
Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax² + bx + c là một đường cong được gọi là parabol.
Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (khi a > 0) hoặc điểm cao nhất (khi a < 0) của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol được tính theo công thức:
I(x₀; y₀), với x₀ = -b / 2a và y₀ = f(x₀)
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đi qua đỉnh của parabol và song song với trục Oy. Phương trình của trục đối xứng là x = -b / 2a.
Hệ số a đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hình dạng và vị trí của parabol:
Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có các nghiệm được xác định bởi công thức nghiệm:
x₁₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Dấu của hệ số a quyết định vị trí của parabol so với trục Ox:
Để hiểu rõ hơn về lý thuyết hàm số bậc hai, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Hy vọng với những kiến thức trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về lý thuyết hàm số bậc hai - SGK Toán 10 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
