Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo

I. Giới thiệu chung về biến cố hợp

Trong lý thuyết xác suất, một biến cố hợp là sự kết hợp của hai hoặc nhiều biến cố đơn giản. Nói cách khác, biến cố hợp xảy ra khi ít nhất một trong các biến cố đơn giản cấu thành nó xảy ra. Ví dụ, nếu A là biến cố 'tung đồng xu được mặt ngửa' và B là biến cố 'tung đồng xu được mặt sấp', thì biến cố hợp A∪B là biến cố 'tung đồng xu'.

II. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc cộng xác suất là một công cụ quan trọng để tính xác suất của biến cố hợp. Quy tắc này có hai trường hợp:

1. Trường hợp 1: Hai biến cố A và B xung khắc (không đồng thời xảy ra).

Khi đó, xác suất của biến cố hợp A∪B được tính bằng tổng xác suất của hai biến cố A và B:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

1. Trường hợp 2: Hai biến cố A và B không xung khắc (có thể đồng thời xảy ra).

Khi đó, xác suất của biến cố hợp A∪B được tính bằng:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Trong đó, P(A∩B) là xác suất của biến cố giao (biến cố A và B đồng thời xảy ra).

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

• Gọi A là biến cố 'lấy được ít nhất một quả bóng đỏ'.
• Biến cố đối của A là A': 'lấy được cả hai quả bóng xanh'.
• Số cách chọn 2 quả bóng từ 8 quả là C(8,2) = 28.
• Số cách chọn 2 quả bóng xanh từ 3 quả là C(3,2) = 3.
• P(A') = 3/28.
• P(A) = 1 - P(A') = 1 - 3/28 = 25/28.

Ví dụ 2: Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

Giải:

• Không gian mẫu: Ω = {(i, j) | i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Số phần tử của không gian mẫu là |Ω| = 36.
• Biến cố A: 'tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7'.
• A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Số phần tử của A là |A| = 6.
• P(A) = |A| / |Ω| = 6/36 = 1/6.

IV. Bài tập áp dụng

1. Một túi đựng 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên 2 quả. Tính xác suất để 2 quả cùng màu.

2. Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để tích số chấm trên hai lần gieo bằng 12.

3. Trong một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi môn Toán và 8 học sinh giỏi môn Văn. Có 5 học sinh giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn.

V. Kết luận

Bài học về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất là nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong bài học này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.