Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp chi tiết

Bài 2 trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào ba khái niệm quan trọng trong đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Việc hiểu rõ sự khác biệt giữa chúng và cách áp dụng các công thức tính toán là rất quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế.

1. Khái niệm về Hoán vị

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính bằng công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Khái niệm về Chỉnh hợp

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính bằng công thức:

A_n^k = n! / (n - k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp học gồm 10 học sinh để làm nhiệm vụ?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₁₀² = 10! / (10 - 2)! = 10! / 8! = 10 x 9 = 90

3. Khái niệm về Tổ hợp

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính bằng công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n - k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp học gồm 10 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C₁₀³ = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120

4. Phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp nằm ở việc có quan tâm đến thứ tự hay không:

5. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 cầu thủ để đá phạt?

Giải: Bài toán này yêu cầu chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ mà không quan tâm đến thứ tự, do đó ta sử dụng công thức tổ hợp:

C₁₁⁵ = 11! / (5! * 6!) = (11 x 10 x 9 x 8 x 7) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 462

Vậy có 462 cách chọn ra 5 cầu thủ để đá phạt.

Bài 2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Giải: Bài toán này yêu cầu chọn 3 chữ số từ 5 chữ số và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định, do đó ta sử dụng công thức chỉnh hợp:

A₅³ = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Vậy có 60 số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

6. Kết luận

Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là nền tảng quan trọng trong đại số tổ hợp. Việc nắm vững các khái niệm và công thức tính toán sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.