Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn

Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn - SBT Toán 9 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết

Bài 2 trong sách bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn để giải quyết các bài toán thực tế. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và tính chất cơ bản sau:

I. Khái niệm cơ bản về tiếp tuyến của đường tròn

Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn. Điểm chung đó được gọi là tiếp điểm.

• Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A nếu d chỉ có một điểm chung A với đường tròn (O).
• Tính chất: Tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

II. Các định lý liên quan đến tiếp tuyến

Có một số định lý quan trọng liên quan đến tiếp tuyến mà các em cần nắm vững:

1. Định lý 1: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn tại một điểm, thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại điểm đó.
2. Định lý 2: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó, thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
3. Định lý 3: Từ một điểm nằm ngoài đường tròn, chỉ kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn.

III. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) có bán kính R = 5cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 10cm. Vẽ tiếp tuyến OB với đường tròn tại B. Tính độ dài AB.

Giải:

Vì OB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên góc OBA vuông. Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OBA vuông tại B, ta có:

AB² = OA² - OB² = 10² - 5² = 100 - 25 = 75

Suy ra AB = √75 = 5√3 cm.

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O₁) và (O₂) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A. Gọi B và C lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung này với (O₁) và (O₂). Chứng minh rằng BC vuông góc với O₁O₂.

Giải:

Gọi D là giao điểm của BC và O₁O₂. Ta có:

O₁B ⊥ BC và O₂C ⊥ BC nên O₁B // O₂C.

Xét tam giác O₁BC và O₂BC, ta có:

∠O₁BD = ∠O₂CD = 90^o

∠O₁BC = ∠O₂CB (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra tam giác O₁BD đồng dạng với tam giác O₂CD (g.g)

Do đó, ∠BO₁D = ∠CO₂D. Mà ∠BO₁D + ∠CO₂D = 180^o nên ∠BO₁D = ∠CO₂D = 90^o.

Vậy BC ⊥ O₁O₂.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn, các em nên luyện tập thêm các bài tập khác trong sách bài tập và các đề thi thử. Hãy chú trọng vào việc vận dụng các định lý và tính chất đã học để giải quyết các bài toán một cách linh hoạt và sáng tạo.

V. Kết luận

Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn - SBT Toán 9 - Chân trời sáng tạo là một bài học quan trọng, giúp các em hiểu rõ hơn về các khái niệm và tính chất cơ bản của tiếp tuyến. Việc nắm vững kiến thức này sẽ là nền tảng vững chắc cho các em trong quá trình học tập môn Toán ở các lớp trên.