giaibaitoan.com - Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải quyết bài toán tối ưu

Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn - Toán 12 Cánh Diều

Bài học này thuộc chuyên đề 2: Ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu, chương trình Toán 12 Cánh Diều. Mục tiêu chính của bài học là giúp học sinh nắm vững phương pháp sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu trong thực tiễn, từ đó nâng cao khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để giải quyết các bài toán tối ưu, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Đạo hàm của hàm số: Khái niệm, ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x₀ khi và chỉ khi f'(x₀) = 0 và f''(x₀) ≠ 0.
Quy tắc tìm cực trị của hàm số: Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai để xác định điểm cực đại, cực tiểu.
Bài toán tối ưu: Xác định hàm số cần tối ưu, tìm tập xác định của hàm số, tìm điểm cực trị và so sánh giá trị hàm số tại các điểm cực trị và biên của tập xác định để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ gặp các dạng bài tập sau:

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [0; 3].
Bài toán tối ưu hình học: Ví dụ: Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích cho trước mà có chu vi nhỏ nhất.
Bài toán tối ưu kinh tế: Ví dụ: Tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận.
Bài toán tối ưu trong thực tế: Ví dụ: Tìm tốc độ tối ưu để tiết kiệm nhiên liệu.

III. Phương pháp giải bài toán tối ưu

Để giải quyết các bài toán tối ưu, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:

Bước 1: Đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài toán.
Bước 2: Xây dựng hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu.
Bước 3: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 4: Tính đạo hàm của hàm số.
Bước 5: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
Bước 6: Xác định loại điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
Bước 7: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và biên của tập xác định.
Bước 8: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bước 9: Kết luận.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 1 trên khoảng [-1; 3].

Giải:

f'(x) = -2x + 4
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 2.
f''(x) = -2 < 0, vậy x = 2 là điểm cực đại.
f(2) = -2² + 4(2) + 1 = 5
f(-1) = -(-1)² + 4(-1) + 1 = -4
f(3) = -3² + 4(3) + 1 = 4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [-1; 3] là 5, đạt được tại x = 2.

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 2x + 3.
Bài 2: Một người nông dân muốn xây một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi chuồng trại đó cần có kích thước như thế nào để sử dụng ít vật liệu nhất?

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu trong thực tiễn. Chúc các em học tập tốt!