Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong môn Toán.
Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp dựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).
Đề bài
Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp dựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Từ thể tích của hộp đựng nước giải khát ta sẽ biểu diễn được chiều cao của hộp nước theo bán kính đáy của nó \(h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}\)
+) Diện tích vỏ hộp chính là diện tích toàn phần của hộp nước hình trụ.
+) Ta sẽ biểu diễn được diện tích vỏ hộp bằng một hàm số \(S(r)\)ẩn r
+) Yêu cầu bài toán đồng nghĩa với việc ta phải đi tìm bán kính, chiều cao mà ở đó hàm số \(S(r)\)đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Chiều cao \(h\) của hộp đứng nước có dạng hình trụ là \(h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}\) (cm).
Diện tích mặt đáy của hộp đựng nước là \({S_{\rm{d}}} = \pi {r^2}\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)).
Diện tích xung quanh của hộp đựng nước là \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{{500}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{1000}}{r}{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\)
Diện tích vỏ hộp là \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r}({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\).
Xét hàm số \(S(r) = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r},r \in (0; + \infty ).\)
Ta có \(S'(r) = 4\pi r - \frac{{1000}}{{{r^2}}}.\) Do đó \(S'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}.\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(S(r)\) như sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} S(r) \approx 348,73\) tại \(r = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}\) (cm).
Vậy để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất thì bán kính của chiếc hộp là \(r = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}\) (cm) và chiều cao của chiếc hộp là \(h = \frac{{500}}{{\pi {{\left( {\frac{{10}}{{\sqrt[3]{{4\pi }}}}} \right)}^2}}} = \frac{{5{{\left( {\sqrt[3]{{4\pi }}} \right)}^2}}}{\pi }\) (cm).
Bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về các chủ đề quan trọng như đạo hàm, tích phân, số phức và hình học không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt các công thức, định lý và kỹ năng giải toán đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài 8 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết hiệu quả bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều, bạn cần nắm vững các phương pháp sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Giải:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Để hỗ trợ quá trình học tập và giải bài tập, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà giaibaitoan.com cung cấp, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
