Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng - Giải chi tiết SGK Toán 9 Kết nối tri thức

I. Lý thuyết cơ bản

Định lí Viète là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn. Đối với phương trình bậc hai tổng quát có dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), Định lí Viète khẳng định mối quan hệ giữa các nghiệm x₁ và x₂ của phương trình với các hệ số a, b, và c.

Cụ thể, Định lí Viète phát biểu như sau:

Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a

II. Ví dụ minh họa và bài tập áp dụng

Ví dụ 1: Xét phương trình 2x² - 5x + 3 = 0. Áp dụng Định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = -(-5)/2 = 5/2
x₁ * x₂ = 3/2

Từ đó, ta có thể tìm ra hai nghiệm của phương trình là x₁ = 1 và x₂ = 3/2.

Ví dụ 2: Cho phương trình x² - 4x + 4 = 0. Áp dụng Định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = -(-4)/1 = 4
x₁ * x₂ = 4/1 = 4

Phương trình này có nghiệm kép x₁ = x₂ = 2.

Bài tập 1: Tìm tổng và tích các nghiệm của phương trình x² + 6x - 7 = 0.

Bài tập 2: Cho phương trình 3x² - 7x + 2 = 0. Không giải phương trình, hãy tìm giá trị của biểu thức x₁² + x₂².

III. Ứng dụng của Định lí Viète

Định lí Viète có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải toán:

Kiểm tra nghiệm: Sử dụng Định lí Viète để kiểm tra xem một cặp số có phải là nghiệm của phương trình hay không.
Tìm nghiệm: Trong một số trường hợp, có thể sử dụng Định lí Viète để tìm ra các nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng.
Xây dựng phương trình: Cho biết tổng và tích của hai nghiệm, có thể xây dựng một phương trình bậc hai tương ứng.
Giải các bài toán liên quan đến nghiệm phương trình: Định lí Viète được sử dụng để giải các bài toán phức tạp hơn, liên quan đến các biểu thức chứa nghiệm của phương trình.

IV. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Tìm các giá trị của m để phương trình x² - 2(m+1)x + m² - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng Định lí Viète để tìm mối quan hệ giữa các nghiệm.

Bài tập 2: Cho phương trình x² - (m+2)x + m = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm x₁ = 1. Tìm nghiệm còn lại trong trường hợp đó.

Bài tập 3: Tìm các giá trị của m để phương trình x² - mx + m - 1 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 3.

V. Kết luận

Định lí Viète là một công cụ hữu ích và quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc nắm vững Định lí Viète và các ứng dụng của nó sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.