Định lí Viète là một công cụ quan trọng trong chương trình Toán 9, đặc biệt là khi giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết bài tập một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành để bạn có thể hiểu sâu sắc về Định lí Viète và ứng dụng của nó trong Toán 9 Kết nối tri thức.
1. Định lí Viète Nếu ({x_1},{x_2}) là hai nghiệm của phương trình (a{x^2} + bx + c = 0left( {a ne 0} right)) thì (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - frac{b}{a}\{x_1}{x_2} = frac{c}{a}.end{array} right.)
1. Định lí Viète
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
2. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm
Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Định lí Viète là một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng của chương trình Toán 9, đặc biệt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Hiểu rõ và vận dụng linh hoạt định lí này không chỉ giúp học sinh giải bài tập nhanh chóng mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Nếu phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thì:
Định lí Viète còn đúng với phương trình bậc hai thiếu, ví dụ: phương trình ax2 + bx = 0 hoặc ax2 + c = 0.
Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, cụ thể:
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Tính tổng và tích của hai nghiệm.
Ta có a = 1, b = -5, c = 6. Theo Định lí Viète:
Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 + 4x - 6 = 0. Tìm hai nghiệm của phương trình.
Đầu tiên, ta chia cả hai vế của phương trình cho 2 để được: x2 + 2x - 3 = 0. Ta có a = 1, b = 2, c = -3. Theo Định lí Viète:
Ta có thể nhận thấy x1 = 1 và x2 = -3 là hai nghiệm của phương trình.
Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập:
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã nắm vững Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng của nó trong Toán 9 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
