Bài 29. Tứ giác nội tiếp

Bài 29 trong sách Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức giới thiệu về tứ giác nội tiếp, một khái niệm quan trọng trong hình học liên quan đến đường tròn. Để hiểu rõ về tứ giác nội tiếp, chúng ta cần nắm vững định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết của nó.

1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp

Một tứ giác được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn nếu bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn. Nói cách khác, có một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác đó.

2. Tính chất của tứ giác nội tiếp

• Tổng hai góc đối nhau bằng 180°: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối nhau luôn bằng 180°. Ví dụ, nếu tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, thì ∠A + ∠C = 180° và ∠B + ∠D = 180°.
• Góc tạo bởi tiếp tuyến và một cạnh bằng góc nội tiếp đối diện: Nếu tiếp tuyến tại đỉnh A của tứ giác nội tiếp ABCD cắt cạnh BC tại E, thì ∠EAB = ∠BCD.

3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

• Tổng hai góc đối nhau bằng 180°: Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180°, thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
• Góc tạo bởi tiếp tuyến và một cạnh bằng góc nội tiếp đối diện: Nếu góc tạo bởi tiếp tuyến tại một đỉnh của tứ giác và một cạnh kề bằng góc nội tiếp đối diện, thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
• Các đỉnh của tứ giác cùng nằm trên một đường tròn: Đây là dấu hiệu cơ bản nhất để nhận biết một tứ giác nội tiếp.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết ∠A = 80°. Tính ∠C.

Giải: Vì ABCD là tứ giác nội tiếp, nên ∠A + ∠C = 180°. Suy ra ∠C = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm D sao cho AD là đường kính. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.

Giải:

1. Vì AD là đường kính, nên ∠ACD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
2. Do đó, CD ⊥ AC. Mà AC ⊥ AB (vì tam giác ABC vuông tại A), suy ra CD // AB.
3. Vì ABCD là tứ giác nội tiếp, nên ∠ABC + ∠ADC = 180°.
4. Xét tam giác ADC vuông tại C, ta có ∠DAC = 90° - ∠ADC.
5. Xét tam giác BAC vuông tại A, ta có ∠BAC = 90° - ∠ABC.
6. Suy ra ∠DAC = ∠BAC.
7. Do đó, AC là đường phân giác của ∠BAD.
8. Vì CD // AB và ∠DAC = ∠BAC, nên ABCD là hình thang cân.

5. Ứng dụng của kiến thức về tứ giác nội tiếp

Kiến thức về tứ giác nội tiếp có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học, đặc biệt là trong việc chứng minh các tính chất liên quan đến đường tròn và các góc trong hình. Nó cũng là nền tảng để học các kiến thức nâng cao hơn về hình học trong các lớp học tiếp theo.

6. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về tứ giác nội tiếp, các em học sinh nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể tìm thấy trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 29. Tứ giác nội tiếp - SGK Toán 9 - Kết nối tri thức và tự tin giải quyết các bài tập liên quan.