Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 77 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức trên giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu cho từng bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, hỗ trợ các em giải quyết mọi khó khăn trong môn Toán.
Cho tam giác vuông ABC có cạnh góc vuông AB = 4, cạnh huyền BC = 8. Tính cạnh AC (làm tròn đến số thập phân thứ ba) và các góc B, C (làm tròn đến độ).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 77 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác vuông ABC có cạnh góc vuông AB = 4, cạnh huyền BC = 8. Tính cạnh AC (làm tròn đến số thập phân thứ ba) và các góc B, C (làm tròn đến độ).
Phương pháp giải:
Từ định lý Pythagore ta tính được cạnh còn lại của tam giác ABC, và dựa vào tỉ số lượng giác của góc B và góc C, ta tính được góc B và góc C.
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(B{C^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + A{C^2}\) (Định lý Pythagore)
Thay số ta có: \({8^2} = {4^2} + A{C^2}\) hay \(A{C^2} = {8^2} - {4^2} = 48\) suy ra \(AC = \sqrt {48} = 4\sqrt 3 \approx 6,928 \)
Ta có: \(\cos \widehat B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat B = {60^0}\)
\(\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat C = {30^0}\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 77SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Giải tam giác ABC vuông tại A, biết \(BC = 9,\widehat C = {53^0}.\)
Phương pháp giải:
Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông đó thông qua các tỉ số lượng giác hoặc định lý Pythagore.
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\cos \widehat C = \frac{{AC}}{{BC}}\) hay \(\cos {53^0} = \frac{{AC}}{9}\) suy ra \(AC = 9.\cos {53^0} \approx 5,42\)
\(\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}}\) hay \(\sin {53^0} = \frac{{AB}}{9}\) suy ra \(AB = 9.\sin {53^0} \approx 7,19\)
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) nên \({90^0} + \widehat B + {53^0} = {180^0}\) suy ra \(\widehat B = {37^0}.\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 77SGK Toán 9 Kết nối tri thức
1. Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết hai cạnh \(AB = c,AC = b\) hoặc \(AB = c,BC = a\) và không sử dụng định lý Pythagore (H.4.21).
2. Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông AB (hoặc cạnh huyền BC) và góc B.
Phương pháp giải:
Để giải tam giác vuông ngoài sử dụng định lý Pythagore ta có thể sử dụng tỉ số lượng giác.
Lời giải chi tiết:
1. Trường hợp biết \(AB = c,AC = b\)
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\tan \widehat B = \frac{b}{c}\) từ đó ta tính được góc B, và tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Sau khi tính được góc B, ta dùng tỉ số lượng giác \(\cos \widehat B = \frac{c}{{CB}}\) từ đó ta tính được \(CB = \frac{c}{{\cos \widehat B}}\)
Trường hợp \(AB = c,BC = a\)
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\cos \widehat B = \frac{b}{c}\) từ đó ta tính được góc B, và tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Sau khi tính được góc B, ta dùng tỉ số lượng giác \(\tan \widehat B = \frac{{AC}}{c}\) từ đó ta tính được \(AC = c.\tan \widehat B\)
2. Tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông AB (hoặc cạnh huyền BC) và góc B.
Trường hợp biết cạnh góc vuông AB và góc B
Biết góc B ta tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Để tính cạnh BC ta dùng tỉ số lượng giác \(\cos \widehat B = \frac{c}{{BC}}\) từ đó ta tính được \(BC = \frac{c}{{\cos \widehat B}}\) và tỉ số lượng giác \(\tan \widehat B = \frac{{AC}}{c}\) từ đó ta tính được \(AC = c.\tan \widehat B\)
Trường hợp biết cạnh huyền BC và góc B
Biết góc B ta tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Để tính cạnh AB ta dùng tỉ số lượng giác \(\cos \widehat B = \frac{{AB}}{a}\) từ đó ta tính được \(AB = a.\cos \widehat B\) và tỉ số lượng giác \(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{a}\) từ đó ta tính được \(AC = a.\sin \widehat B\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 77 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Giải bài toán ở tình huống mở đầu với \(\alpha = {27^0},\beta = {19^0}.\)
Tình huống mở đầu: Để đo chiều cao của một tòa lâu đài (H.4.11) , người ta đặt giác kế thẳng đứng tại M. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đỉnh P’ của tòa lâu đài dưới góc nhọn \(\alpha \). Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại N, NM = 20 m, thì nhìn thấy đỉnh P’ dưới góc nhọn \(\beta \left( {\beta < \alpha } \right).\) Biết chiều cao giác kế là 1,6 m, hãy tính chiều cao của tòa lâu đài.
Phương pháp giải:
Ta thấy trong hình có hai tam giác vuông P’N’H và P’HM’ có cùng chiều cao từ đó ta tính được chiều cao của tam giác thông qua tỉ số lượng giác của góc \(\alpha ,\beta \) trong hai tam giác vuông và lập được phương trình. Chú ý để tính chiều cao của tòa lâu đài cần tính tổng chiều cao của giác kế và P’H. Độ dài đoạn MN bằng M’N’.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{P'H}}{{M'H}}\) hay \(P'H = M'H.\tan {27^0}\)
\(\tan \beta = \frac{{P'H}}{{N'H}}\) hay \(P'H = N'H.\tan {19^0}\)
Từ đó ta có phương trình: \(M'H.\tan {27^0} = N'H.\tan {19^0}\)
hay \(M'H.\tan {27^0} = \left( {M'H + 20} \right).\tan {19^0}\)
suy ra \(M'H.\left( {\tan {{27}^0} - \tan {{19}^0}} \right) = 20.\tan {19^0}\)
nên \(M'H = \frac{{20.\tan {{19}^0}}}{{{\tan {{27}^0} - \tan {{19}^0}} }} \approx 41,69\) m
\(P'H = M'H.\tan {27^0} \approx 21,24\) m
Chiều cao của tòa lâu đài khoảng: \(21,24 + 1,6 = 22,84\) m.
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 77 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác vuông ABC có cạnh góc vuông AB = 4, cạnh huyền BC = 8. Tính cạnh AC (làm tròn đến số thập phân thứ ba) và các góc B, C (làm tròn đến độ).
Phương pháp giải:
Từ định lý Pythagore ta tính được cạnh còn lại của tam giác ABC, và dựa vào tỉ số lượng giác của góc B và góc C, ta tính được góc B và góc C.
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(B{C^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + A{C^2}\) (Định lý Pythagore)
Thay số ta có: \({8^2} = {4^2} + A{C^2}\) hay \(A{C^2} = {8^2} - {4^2} = 48\) suy ra \(AC = \sqrt {48} = 4\sqrt 3 \approx 6,928 \)
Ta có: \(\cos \widehat B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat B = {60^0}\)
\(\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat C = {30^0}\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 77SGK Toán 9 Kết nối tri thức
1. Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết hai cạnh \(AB = c,AC = b\) hoặc \(AB = c,BC = a\) và không sử dụng định lý Pythagore (H.4.21).
2. Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông AB (hoặc cạnh huyền BC) và góc B.
Phương pháp giải:
Để giải tam giác vuông ngoài sử dụng định lý Pythagore ta có thể sử dụng tỉ số lượng giác.
Lời giải chi tiết:
1. Trường hợp biết \(AB = c,AC = b\)
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\tan \widehat B = \frac{b}{c}\) từ đó ta tính được góc B, và tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Sau khi tính được góc B, ta dùng tỉ số lượng giác \(\cos \widehat B = \frac{c}{{CB}}\) từ đó ta tính được \(CB = \frac{c}{{\cos \widehat B}}\)
Trường hợp \(AB = c,BC = a\)
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\cos \widehat B = \frac{b}{c}\) từ đó ta tính được góc B, và tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Sau khi tính được góc B, ta dùng tỉ số lượng giác \(\tan \widehat B = \frac{{AC}}{c}\) từ đó ta tính được \(AC = c.\tan \widehat B\)
2. Tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông AB (hoặc cạnh huyền BC) và góc B.
Trường hợp biết cạnh góc vuông AB và góc B
Biết góc B ta tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Để tính cạnh BC ta dùng tỉ số lượng giác \(\cos \widehat B = \frac{c}{{BC}}\) từ đó ta tính được \(BC = \frac{c}{{\cos \widehat B}}\) và tỉ số lượng giác \(\tan \widehat B = \frac{{AC}}{c}\) từ đó ta tính được \(AC = c.\tan \widehat B\)
Trường hợp biết cạnh huyền BC và góc B
Biết góc B ta tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Để tính cạnh AB ta dùng tỉ số lượng giác \(\cos \widehat B = \frac{{AB}}{a}\) từ đó ta tính được \(AB = a.\cos \widehat B\) và tỉ số lượng giác \(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{a}\) từ đó ta tính được \(AC = a.\sin \widehat B\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 77SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Giải tam giác ABC vuông tại A, biết \(BC = 9,\widehat C = {53^0}.\)
Phương pháp giải:
Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông đó thông qua các tỉ số lượng giác hoặc định lý Pythagore.
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\cos \widehat C = \frac{{AC}}{{BC}}\) hay \(\cos {53^0} = \frac{{AC}}{9}\) suy ra \(AC = 9.\cos {53^0} \approx 5,42\)
\(\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}}\) hay \(\sin {53^0} = \frac{{AB}}{9}\) suy ra \(AB = 9.\sin {53^0} \approx 7,19\)
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) nên \({90^0} + \widehat B + {53^0} = {180^0}\) suy ra \(\widehat B = {37^0}.\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 77 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Giải bài toán ở tình huống mở đầu với \(\alpha = {27^0},\beta = {19^0}.\)
Tình huống mở đầu: Để đo chiều cao của một tòa lâu đài (H.4.11) , người ta đặt giác kế thẳng đứng tại M. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đỉnh P’ của tòa lâu đài dưới góc nhọn \(\alpha \). Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại N, NM = 20 m, thì nhìn thấy đỉnh P’ dưới góc nhọn \(\beta \left( {\beta < \alpha } \right).\) Biết chiều cao giác kế là 1,6 m, hãy tính chiều cao của tòa lâu đài.
Phương pháp giải:
Ta thấy trong hình có hai tam giác vuông P’N’H và P’HM’ có cùng chiều cao từ đó ta tính được chiều cao của tam giác thông qua tỉ số lượng giác của góc \(\alpha ,\beta \) trong hai tam giác vuông và lập được phương trình. Chú ý để tính chiều cao của tòa lâu đài cần tính tổng chiều cao của giác kế và P’H. Độ dài đoạn MN bằng M’N’.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{P'H}}{{M'H}}\) hay \(P'H = M'H.\tan {27^0}\)
\(\tan \beta = \frac{{P'H}}{{N'H}}\) hay \(P'H = N'H.\tan {19^0}\)
Từ đó ta có phương trình: \(M'H.\tan {27^0} = N'H.\tan {19^0}\)
hay \(M'H.\tan {27^0} = \left( {M'H + 20} \right).\tan {19^0}\)
suy ra \(M'H.\left( {\tan {{27}^0} - \tan {{19}^0}} \right) = 20.\tan {19^0}\)
nên \(M'H = \frac{{20.\tan {{19}^0}}}{{{\tan {{27}^0} - \tan {{19}^0}} }} \approx 41,69\) m
\(P'H = M'H.\tan {27^0} \approx 21,24\) m
Chiều cao của tòa lâu đài khoảng: \(21,24 + 1,6 = 22,84\) m.
Mục 3 trang 77 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết các bài toán thực tế. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh xây dựng mô hình toán học từ các tình huống cụ thể, sau đó giải hệ phương trình để tìm ra nghiệm và trả lời câu hỏi của bài toán.
Mục 3 bao gồm một số bài tập với mức độ khó tăng dần. Dưới đây là phân tích chi tiết từng bài tập:
Bài tập này yêu cầu học sinh giải một bài toán về năng suất lao động của hai người. Để giải bài này, học sinh cần xác định rõ các đại lượng chưa biết, đặt ẩn và thiết lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn phù hợp. Sau khi giải hệ phương trình, học sinh sẽ tìm được năng suất lao động của mỗi người.
Bài tập này liên quan đến việc tính vận tốc và thời gian của hai vật chuyển động. Học sinh cần sử dụng công thức quãng đường = vận tốc * thời gian để thiết lập hệ phương trình. Việc giải hệ phương trình sẽ giúp học sinh tìm được vận tốc và thời gian của mỗi vật.
Bài tập này yêu cầu học sinh giải một bài toán về số lượng sản phẩm được sản xuất trong một khoảng thời gian nhất định. Học sinh cần phân tích đề bài để xác định mối quan hệ giữa các đại lượng và thiết lập hệ phương trình tương ứng.
Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, bao gồm:
Việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp phụ thuộc vào cấu trúc của hệ phương trình. Trong nhiều trường hợp, phương pháp thế có thể đơn giản hơn, trong khi phương pháp cộng đại số có thể hiệu quả hơn khi các hệ số của ẩn giống nhau hoặc đối nhau.
Khi giải các bài tập về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Bài toán: Hai người cùng làm một công việc. Nếu mỗi người làm một mình thì sau 3 giờ và 5 giờ sẽ hoàn thành công việc. Hỏi nếu cả hai người cùng làm thì sau bao lâu hoàn thành công việc?
Giải:
Vậy nếu cả hai người cùng làm thì sau 1.875 giờ (1 giờ 52 phút 30 giây) sẽ hoàn thành công việc.
Việc nắm vững kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và áp dụng linh hoạt các phương pháp giải là chìa khóa để giải quyết thành công các bài tập trong mục 3 trang 77 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tự tin hơn trong quá trình học tập.
