Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng - Giải chi tiết

Bài 12 thuộc chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1, là một bài học quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác vuông. Bài học này không chỉ cung cấp các công thức mà còn hướng dẫn cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trong một tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có các hệ thức lượng sau:

Hệ thức Pitago: AB² + AC² = BC²
Hệ thức giữa cạnh và góc:
- sin B = AC/BC; cos B = AB/BC; tan B = AC/AB
- sin C = AB/BC; cos C = AC/BC; tan C = AB/AC
Hệ thức giữa cạnh và đường cao:
- AH² = BH.CH
- AB² = BH.BC
- AC² = CH.BC
- 1/AH² = 1/AB² + 1/AC²

II. Ví dụ minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính BC, sin B, cos B, tan B.

Giải:

Áp dụng hệ thức Pitago: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm
sin B = AC/BC = 4/5
cos B = AB/BC = 3/5
tan B = AC/AB = 4/3

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 2cm, BH = 1cm. Tính AB, AC, BC.

Giải:

AB² = BH.BC => AB = √(BH.BC)
AC² = CH.BC
AH² = BH.CH => CH = AH²/BH = 2²/1 = 4cm
BC = BH + CH = 1 + 4 = 5cm
AB = √(1.5) = √5 cm
AC = √(4.5) = 2√5 cm

III. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm. Tính BC, sin C, cos C, tan C.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 3cm, CH = 4cm. Tính AB, AC, BC.
Bài 3: Một chiếc thang dài 5m dựa vào tường sao cho chân thang cách tường 3m. Hỏi góc giữa thang và mặt đất là bao nhiêu độ?