Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Trong hình học, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của tam giác. Bài 28 trong sách Toán 9 Kết nối tri thức tập 2 đi sâu vào việc khám phá hai loại đường tròn này.

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tam giác. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp được gọi là bán kính ngoại tiếp, ký hiệu là R.

Định lý: Mọi tam giác đều có một đường tròn ngoại tiếp duy nhất.

Cách tìm tâm đường tròn ngoại tiếp:

1. Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh bất kỳ của tam giác.
2. Giao điểm của hai đường trung trực này là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:

R = a / (2sinA) = b / (2sinB) = c / (2sinC)

Trong đó: a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, A, B, C là các góc đối diện với các cạnh tương ứng.

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp một tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của các đường phân giác của các góc của tam giác. Bán kính của đường tròn nội tiếp được gọi là bán kính nội tiếp, ký hiệu là r.

Định lý: Mọi tam giác đều có một đường tròn nội tiếp duy nhất.

Cách tìm tâm đường tròn nội tiếp:

1. Vẽ hai đường phân giác của hai góc bất kỳ của tam giác.
2. Giao điểm của hai đường phân giác này là tâm đường tròn nội tiếp.

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp:

r = S / p

Trong đó: S là diện tích của tam giác, p là nửa chu vi của tam giác (p = (a + b + c) / 2).

3. Mối quan hệ giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Có một số mối quan hệ quan trọng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác. Một trong số đó là bất đẳng thức Euler:

d² ≥ 8rR

Trong đó: d là khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.

4. Bài tập ví dụ

Bài tập: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

• Tính BC: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = BC / 2 = 5 / 2 = 2.5cm
• Diện tích tam giác ABC: S = (1/2) * AB * AC = (1/2) * 3 * 4 = 6cm²
• Nửa chu vi tam giác ABC: p = (AB + AC + BC) / 2 = (3 + 4 + 5) / 2 = 6cm
• Bán kính đường tròn nội tiếp: r = S / p = 6 / 6 = 1cm

5. Kết luận

Bài 28 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả hơn. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.