Bài 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 3 trong chương trình Toán 9 tập 1, chương 5 Đường tròn, tập trung vào việc xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn. Đây là một kiến thức nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến đường tròn trong hình học.

1. Các khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Đường tròn: Tập hợp các điểm cách một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính).
Đường thẳng: Một đường thẳng vô hạn không có điểm đầu hoặc điểm cuối.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng.

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Có ba trường hợp về vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn:

Đường thẳng không cắt đường tròn: Trong trường hợp này, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng lớn hơn bán kính của đường tròn (d > r).
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn: Trong trường hợp này, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn (d = r). Điểm tiếp xúc là điểm duy nhất chung giữa đường thẳng và đường tròn.
Đường thẳng cắt đường tròn: Trong trường hợp này, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính của đường tròn (d < r). Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

3. Cách xác định vị trí tương đối

Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, ta thực hiện các bước sau:

Xác định tâm đường tròn và bán kính r.
Xác định phương trình đường thẳng.
Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng. Công thức tính khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 là: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
So sánh d với r:
- Nếu d > r: Đường thẳng không cắt đường tròn.
- Nếu d = r: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
- Nếu d < r: Đường thẳng cắt đường tròn.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có tâm O(0,0) và bán kính r = 5. Đường thẳng d có phương trình x + y - 3 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C).

Giải:

Khoảng cách từ tâm O(0,0) đến đường thẳng d: x + y - 3 = 0 là:

d = |0 + 0 - 3| / √(1² + 1²) = 3 / √2 ≈ 2.12

Vì d < r (2.12 < 5) nên đường thẳng d cắt đường tròn (C).

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C) có tâm O(2,1) và bán kính r = 3. Đường thẳng d có phương trình 3x - 4y + 2 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C).

Giải:

Khoảng cách từ tâm O(2,1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0 là:

d = |3*2 - 4*1 + 2| / √(3² + (-4)²) = |6 - 4 + 2| / √25 = 4 / 5 = 0.8

Vì d < r (0.8 < 3) nên đường thẳng d cắt đường tròn (C).

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho đường tròn (C) có tâm O(1,2) và bán kính r = 4. Đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C).
Bài 2: Cho đường tròn (C) có tâm O(-1,3) và bán kính r = 2. Đường thẳng d có phương trình x - 2y - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C).

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Chúc các em học tập tốt!